Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Gracias a los valiosos datos sobre las posiciones de los astros que Tycho Brahe recogió a lo largo de su vida, Johannes Kepler pudo formular sus famosas tres leyes.

a) Deduzca la tercera ley de Kepler a partir de la segunda ley de Newton y de la ley de gravitación universal, suponiendo que los planetas describen movimientos circulares uniformes. [1,25 puntos]

b) A partir de los datos de la tabla, determine la masa del Sol. [1,25 puntos]

Planeta	$\text{Radio de la }\acute{\text{o}}\text{rbita }({10}^9\text{ m})$	$\text{Per}\acute{\text{ı}}\text{odo (a}\tilde{\text{n}}\text{os)}$ Mercurio	57,90	0,240 8 Venus	108,2	0,615 2 Tierra	149,6	1,000 Marte	228,0	1,881

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Kepler}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Newton}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gravitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{universal,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{planetas}}\mathbf{\text{describen}}\mathbf{\text{movimientos}}\mathbf{\text{circulares}}\mathbf{\text{uniformes.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La única fuerza que actúa sobre un planeta es la atracción gravitatoria del Sol, dada por la ley de la gravitación universal:

$F=G\frac{Mm}{r^2}$

Si el movimiento es circular uniforme, esa fuerza es la fuerza centrípeta, y aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$F=m{a}_c=m\frac{v^2}{r}$

Igualando ambas expresiones y simplificando la masa del planeta:

$G\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}$

Se expresa ahora la velocidad en función del período, ya que el planeta recorre la circunferencia completa en un tiempo $T$:

$v=\frac{2\pi r}{T}$

$G\frac{M}{r^2}=\frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^{2}r}=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$

Y despejando:

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{r}^3$

Esta es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio de la órbita, y la constante de proporcionalidad solo depende de la masa del astro central, no del planeta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tabla,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Despejando la masa central de la expresión anterior:

$M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$

Se toman los datos de la Tierra y se pasan a unidades del Sistema Internacional:

$r=\mathrm{149,6}\cdot {10}^9=\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}\text{m}$

$T=\mathrm{1,000}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}\cdot \frac{\mathrm{365,25}\cdot 86400\text{ s}}{1\text{a}\tilde{\text{n}}\text{o}}=\mathrm{3,156}\cdot {10}^7\text{s}$

$M=\frac{4{\pi }^2{(\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11})}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {(\mathrm{3,156}\cdot {10}^7)}^2}$

$M=\mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}\text{kg}$

Cualquiera de los otros tres planetas da el mismo resultado, y eso es precisamente lo que confirma la tercera ley de Kepler: con Mercurio se obtiene $\mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}\text{kg}$, con Venus $\mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}\text{kg}$ y con Marte $\mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}\text{kg}$.

La masa del Sol es, por tanto, de unos $\mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}\text{kg}$.