Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

B.4.- Líneas de fuerza y superficies equipotenciales en el campo gravitatorio creado por una masa puntual (o esférica).

$\mathbf{\text{L}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{neas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{superficies}}\mathbf{\text{equipotenciales}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{esf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica).}}$

Una masa puntual $M$ crea a su alrededor un campo gravitatorio cuya intensidad en un punto situado a distancia $r$ es la fuerza por unidad de masa que sufriría allí un cuerpo de prueba:

$\vec{g}=-{\displaystyle \frac{GM}{r^2}}{\vec{u}}_r$

siendo ${\vec{u}}_r$ el vector unitario que va de la masa al punto. El signo negativo indica que el campo apunta siempre hacia la masa que lo crea: la interacción gravitatoria es exclusivamente atractiva. Una masa esférica y homogénea crea, en todos los puntos exteriores a ella, exactamente el mismo campo que crearía toda su masa concentrada en el centro, de modo que cuanto sigue vale igualmente para ella.










Las líneas de fuerza, o líneas de campo, son curvas tangentes en cada punto al vector intensidad de campo. Para una masa puntual son semirrectas radiales dirigidas hacia la masa. Nacen en el infinito y mueren en ella, no se cortan nunca —en cada punto el campo tiene un único valor— y su densidad es tanto mayor cuanto más intenso es el campo, lo que se traduce en que se aprietan al acercarse a la masa.





El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial por unidad de masa, tomando el origen de potenciales en el infinito:

$V=-{\displaystyle \frac{GM}{r}}$

Es siempre negativo y aumenta con la distancia, tendiendo a cero en el infinito. Las superficies equipotenciales son el lugar geométrico de los puntos que están al mismo potencial; como el potencial solo depende de $r$, se trata de superficies esféricas concéntricas con la masa, que en el dibujo plano aparecen como circunferencias.

Entre unas y otras se cumplen tres relaciones que conviene retener:

i) Las líneas de fuerza son perpendiculares en todo punto a las superficies equipotenciales, y apuntan en el sentido en que el potencial disminuye, es decir, hacia la masa.

ii) El trabajo que realiza el campo para desplazar una masa entre dos puntos es $W=m(V_A-V_B)$, de modo que al moverse sobre una misma superficie equipotencial ese trabajo es nulo. Es lo que ocurre con un satélite en órbita circular.

iii) Las equipotenciales dibujadas a intervalos iguales de potencial se separan cada vez más al alejarse de la masa, porque allí el campo es más débil y hay que recorrer más distancia para que el potencial cambie lo mismo.

La diferencia esencial con el campo eléctrico creado por una carga puntual está en el signo: como solo existe un tipo de masa y la interacción es siempre atractiva, las líneas de fuerza gravitatorias entran siempre en la masa, mientras que en el caso eléctrico salen de las cargas positivas y entran en las negativas.