Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Pregunta 2.B (2,5 puntos).

Dos masas iguales de valor $m=5\mathrm{k}\mathrm{g}$ se sitúan en los puntos $m_1(0,0)\mathrm{m}$ y $m_2(6,0)\mathrm{m}$.

a) (1,25 puntos) Determine el campo gravitatorio creado por ambas masas en el punto $A(3,3)\mathrm{m}$.

b) (1,25 puntos) Calcule el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar una masa $m^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{k}\mathrm{g}$ desde el punto $A(3,3)\mathrm{m}$ hasta el punto $B(0,3)\mathrm{m}$.

Dato: Constante de gravitación universal $G=6,67\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

El punto $A$ equidista de las dos masas:

$r_1=r_2=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=\mathrm{4,24}\text{ m}$

y las masas son iguales, así que los dos campos tienen el mismo módulo:

$g={\displaystyle \frac{Gm}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 5}{18}}=\mathrm{1,85}\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$





Cada campo apunta hacia su masa. Por simetría respecto de la recta $x=3$, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman. Por el principio de superposición:

${\vec{g}}_A=-2g\cos {45}^{\circ }\vec{\mathrm{ȷ}}=-2\cdot \mathrm{1,85}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\vec{\mathrm{ȷ}}$

${\vec{g}}_A=-\mathrm{2,62}\cdot {10}^{-11}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/kg}$

El campo gravitatorio en $A$ tiene la dirección del eje $Y$, sentido negativo, y módulo $\mathrm{2,62}\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$.



El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que realiza no depende del camino y se calcula con la diferencia de potenciales:

$W_{A\to B}=m^{\mathrm{\prime }}(V_A-V_B)$

El potencial creado por varias masas es la suma escalar de los potenciales individuales, $V=-\sum G{m}_i\mathrm{/}{r}_i$. En $A$:

$V_A=-Gm({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,24}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,24}}})=-\mathrm{1,57}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

En $B$ las distancias son $r_1=3\text{ m}$ y $r_2=\sqrt{6^2+3^2}=\mathrm{6,71}\text{ m}$:

$V_B=-Gm({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,71}}})=-\mathrm{1,61}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

$W_{A\to B}=2(-\mathrm{1,57}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{1,61}\cdot {10}^{-10})=\mathrm{7,34}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$

El campo realiza un trabajo de $\mathrm{7,34}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$. Es positivo porque el potencial disminuye de $A$ a $B$: la masa se mueve espontáneamente en ese sentido.