Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Bloque 1: Campo gravitatorio. Opción 1-B.

El cohete Starship de la compañía SpaceX explotó el pasado 16 de enero cuando se encontraba a una altitud de $150\text{km}$ sobre la superficie terrestre. Su objetivo era alcanzar una órbita de $200\text{km}$ de altura. Calcular:

a) (1{,}25 puntos) El periodo orbital del Starship si hubiera alcanzado la órbita final a $200\text{km}$ de altura.

b) (1{,}25 puntos) El trabajo realizado por el campo gravitatorio de la Tierra desde el despegue hasta la explosión.
Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$, masa de la Tierra $=6\times {10}^{24}\text{kg}$, radio de la Tierra $=6400\text{km}$, masa del Starship $=15\times {10}^4\text{kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Starship}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{hubiera}}\mathbf{\text{alcanzado}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">200</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=\mathrm{6,4}\cdot {10}^6+2\cdot {10}^5=\mathrm{6,6}\cdot {10}^6\text{ m}$





En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. Escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo, $a_c={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}r$:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}r$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_T}}}$

que es la tercera ley de Kepler. Sustituimos:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{6,6}\cdot {10}^6{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}}}=\mathrm{5,33}\cdot {10}^3\text{ s}$

El periodo orbital habría sido de $\mathrm{5,33}\cdot {10}^3\text{ s}$, es decir, unos $\mathrm{88,8}\text{ minutos}$, el valor típico de las órbitas bajas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{despegue}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{explosi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que su trabajo es la variación de energía potencial cambiada de signo y no depende del camino recorrido:

$W=-\mathrm{\Delta }{E}_p=E_{p,i}-E_{p,f}=G{M}_{T}m({\displaystyle \frac{1}{r_f}}-{\displaystyle \frac{1}{r_i}})$

Las distancias al centro de la Tierra en el despegue y en la explosión son:

$r_i=R_T=\mathrm{6,4}\cdot {10}^6\text{ m}{r}_f=R_T+\mathrm{1,5}\cdot {10}^5=\mathrm{6,55}\cdot {10}^6\text{ m}$

Sustituimos, con $m=\mathrm{1,5}\cdot {10}^5\text{ kg}$:

$W=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot \mathrm{1,5}\cdot {10}^5({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,55}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,4}\cdot {10}^6}})$

$W=\mathrm{6,00}\cdot {10}^{19}\cdot (-\mathrm{3,58}\cdot {10}^{-9})=-\mathrm{2,15}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

El campo gravitatorio realiza un trabajo de $-\mathrm{2,15}\cdot {10}^{11}\text{ J}$. El signo negativo era de esperar: en un ascenso la fuerza gravitatoria se opone al desplazamiento, de modo que frena al cohete y su trabajo es resistente.