Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Bloque 1: Campo gravitatorio. Opción 1-B.

El telescopio espacial Webb está ubicado en un punto llamado L2 que orbita alrededor del Sol siempre en la línea que une la Tierra y el Sol, y a una distancia $d=\mathrm{1,5}\cdot {10}^{6}km$ de la Tierra en dirección opuesta al Sol, como muestra la figura.



a) (1,25p) Calcular el cociente entre la energía potencial del telescopio debida al Sol y la debida a la Tierra.

b) (1,25p) Determinar la distancia desde la Tierra al punto A en el que el campo gravitatorio neto de la Tierra más el del Sol se anula.
Datos: masa de la Tierra $=6\cdot {10}^{24}kg$, masa del Sol $=2\cdot {10}^{30}kg$, distancia Sol-Tierra $=150\cdot {10}^{6}km$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cociente}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{telescopio}}\mathbf{\text{debida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{Sol}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{debida}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La energía potencial gravitatoria de una masa $m$ situada a una distancia $r$ de un cuerpo de masa $M$ es:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

El telescopio está a $d=\mathrm{1,5}\cdot {10}^6\text{ km}$ de la Tierra, en el lado opuesto al Sol, luego su distancia al Sol es la suma de la distancia Sol-Tierra y esa separación:

$r_S=150\cdot {10}^6+\mathrm{1,5}\cdot {10}^6=\mathrm{151,5}\cdot {10}^6\text{ km}$

$r_T=d=\mathrm{1,5}\cdot {10}^6\text{ km}$

Al hacer el cociente se cancelan la constante $G$ y la masa del telescopio:

${\displaystyle \frac{E_{p,S}}{E_{p,T}}}={\displaystyle \frac{M_S}{M_T}}\cdot {\displaystyle \frac{r_T}{r_S}}={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{30}}{6\cdot {10}^{24}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\cdot {10}^6}{\mathrm{151,5}\cdot {10}^6}}$

${\displaystyle \frac{E_{p,S}}{E_{p,T}}}=\mathrm{3,3}\cdot {10}^5\cdot \mathrm{9,90}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{3,3}\cdot {10}^3$

La energía potencial que el Sol impone al telescopio es unas $3300$ veces mayor que la debida a la Tierra: aunque el Webb esté muchísimo más cerca de la Tierra, la enorme masa del Sol domina la ligadura.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{neto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










El campo creado por una masa puntual tiene módulo $g=GM\mathrm{/}{r}^2$ y apunta siempre hacia la masa que lo crea. Los dos campos solo pueden cancelarse en un punto situado entre el Sol y la Tierra, que es donde tienen sentidos opuestos.





Llamamos $x$ a la distancia de $A$ a la Tierra, de modo que su distancia al Sol es $D-x$, con $D=150\cdot {10}^6\text{ km}$. Imponemos que los módulos sean iguales:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{x^2}}=G{\displaystyle \frac{M_S}{(D-x{)}^2}}$

${\displaystyle \frac{D-x}{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_S}{M_T}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{30}}{6\cdot {10}^{24}}}}=\mathrm{577,4}$

Se toma solo la raíz positiva, pues las dos distancias lo son. Despejamos:

$D=x(1+\mathrm{577,4})\Rightarrow x={\displaystyle \frac{150\cdot {10}^6}{\mathrm{578,4}}}=\mathrm{2,59}\cdot {10}^5\text{ km}$

El punto neutro está a $\mathrm{2,59}\cdot {10}^5\text{ km}=\mathrm{2,59}\cdot {10}^8\text{ m}$ de la Tierra, muchísimo más cerca de ella que del Sol: al ser la Tierra tan poco masiva, su campo solo llega a igualar al solar muy cerca de su superficie.