Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

BLOQUE III. PROBLEMAS (ELIJA DOS) (3+3=6 PUNTOS)

P1. El Intasat-1 fue el primer satélite español. Con una masa de $25\text{ kg}$, fue lanzado en 1974 y estuvo durante dos años en una órbita circular a $1450\text{ km}$ de la superficie terrestre. Determinar:

a) El valor de la aceleración de la gravedad en un punto de la órbita del satélite. (1 punto)

b) El número de vueltas a la Tierra que dio el satélite en esos dos años. (1 punto)

c) La energía que hubo que aportar al satélite para llevarlo desde la superficie de la Tierra a esa órbita (energía de satelización). (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$, masa de la Tierra $=\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$, radio de la Tierra $=6371\text{ km}$.

El satélite describe una órbita circular a una altura $h=1450\text{ km}$ sobre la superficie, de modo que su radio orbital, medido desde el centro de la Tierra, es:

$r=R_T+h=6371\cdot {10}^3+1450\cdot {10}^3=\mathrm{7,821}\cdot {10}^6\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La aceleración de la gravedad a una distancia $r$ del centro de la Tierra es la intensidad del campo gravitatorio en ese punto:

$g={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{7,821}\cdot {10}^6{)}^2}}$

$g=\mathrm{6,54}{\text{m/s}}^2$

En la órbita la gravedad vale $\mathrm{6,54}{\text{m/s}}^2$, sensiblemente menor que en la superficie, como corresponde a un punto más alejado del centro de la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vueltas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dio}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En la órbita la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y de esa igualdad se obtiene la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_T}}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{7,821}\cdot {10}^6{)}^3}{\mathrm{4,00}\cdot {10}^{14}}}}$

$T=\mathrm{6,87}\cdot {10}^3\text{ s}$

es decir, algo menos de dos horas por vuelta. En dos años transcurren:

$t=2\cdot 365\cdot 24\cdot 3600=\mathrm{6,31}\cdot {10}^7\text{ s}$

y el número de vueltas es el cociente entre ambos tiempos:

$N={\displaystyle \frac{t}{T}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,31}\cdot {10}^7}{\mathrm{6,87}\cdot {10}^3}}=\mathrm{9,18}\cdot {10}^3\text{ vueltas}$

El Intasat-1 dio, por tanto, unas $9180$ vueltas a la Tierra durante su vida útil.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hubo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aportar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevarlo}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{(energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{satelizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n).}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La energía de satelización es la diferencia entre la energía mecánica en la órbita y la que tenía el satélite en reposo sobre la superficie:

$E_{\text{sat}}=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}$





En órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}\cdot 25}{2\cdot \mathrm{7,821}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{6,40}\cdot {10}^8\text{ J}$

En la superficie, y en reposo, solo hay energía potencial:

$E_{\text{superficie}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}=-\mathrm{1,57}\cdot {10}^9\text{ J}$

Restando:

$E_{\text{sat}}=-\mathrm{6,40}\cdot {10}^8+\mathrm{1,57}\cdot {10}^9=\mathrm{9,31}\cdot {10}^8\text{ J}$

Hubo que aportar $\mathrm{9,31}\cdot {10}^8\text{ J}$, unos $931\text{ MJ}$. El resultado es positivo, como debe ser, porque el satélite pasa de un estado más ligado, en la superficie, a otro menos ligado en la órbita.