Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

T1. Energía potencial gravitatoria. (1 punto)

$\mathbf{\text{T1.}}\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La interacción gravitatoria es una fuerza conservativa: el trabajo que realiza al desplazar una masa de un punto a otro no depende del camino seguido, sino solo de las posiciones inicial y final. Por eso puede asociársele una energía potencial, de manera que el trabajo del campo es igual a la disminución de dicha energía:

$W_{A\to B}=-\mathrm{\Delta }{E}_p=E_p(A)-E_p(B)$

La energía potencial gravitatoria de un sistema de dos masas puntuales $M$ y $m$ separadas una distancia $r$ es la energía asociada a su posición relativa. Tomando el origen de potencial en el infinito, su expresión es:

$E_p(r)=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

y se mide en julios. Se obtiene calculando el trabajo necesario para traer la masa $m$ desde el infinito hasta la distancia $r$:

$E_p(r)=-{\int }_{\mathrm{\infty }}^r\vec{F}\cdot d\vec{r}=-{\int }_{\mathrm{\infty }}^r(-G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}})dr=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$










El signo negativo tiene un significado físico preciso: el sistema está ligado. Como el origen se toma en el infinito y la fuerza es atractiva, hay que aportar energía desde el exterior para separar las masas. Al acercarse, la energía potencial se hace más negativa; al alejarse, crece hacia cero.





La energía potencial se relaciona con el potencial gravitatorio $V(r)=-GM\mathrm{/}r$, que es la energía por unidad de masa, mediante $E_p=mV(r)$. Al ser una magnitud escalar, la energía potencial de un conjunto de masas es la suma de las energías de todas las parejas posibles.

Por ser la fuerza conservativa, en ausencia de rozamiento se conserva la energía mecánica:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}=\text{cte}$

De esta conservación se deduce, por ejemplo, la velocidad de escape: imponiendo que el cuerpo llegue al infinito con velocidad nula, $E_m=0$, resulta $v_e=\sqrt{2GM\mathrm{/}R}$.