Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

C1. Consideremos dos masas de igual valor, $m$, separadas una distancia $d$. Determinar el trabajo realizado por el campo gravitatorio en llevar una tercera masa de igual valor desde el infinito hasta el punto medio entre las dos primeras masas. (1 punto)

$\mathbf{\text{C1.}}\mathbf{\text{Consideremos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{masas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{valor,}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{separadas}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{d}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{primeras.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo que realiza al desplazar una masa entre dos puntos es la variación de energía potencial cambiada de signo:

$W=-\mathrm{\Delta }{E}_p=E_p(\text{inicial})-E_p(\text{final})$

siendo la energía potencial de cada pareja de masas $E_p=-G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r}}$.





En el estado inicial la tercera masa está infinitamente lejos de las otras dos, de modo que su energía potencial es nula:

$E_p(\mathrm{\infty })=0$

En el punto medio dista $d\mathrm{/}2$ de cada una de las masas fijas. Sumamos las dos interacciones nuevas; la interacción entre las dos masas fijas no varía, pues su separación se mantiene, y no interviene en este trabajo:

$E_p=-{\displaystyle \frac{G{m}^2}{d\mathrm{/}2}}-{\displaystyle \frac{G{m}^2}{d\mathrm{/}2}}=-{\displaystyle \frac{4G{m}^2}{d}}$

Sustituyendo en la expresión del trabajo:

$W=0-(-{\displaystyle \frac{4G{m}^2}{d}})={\displaystyle \frac{4G{m}^2}{d}}$

El trabajo del campo es positivo, y así debía ser: la fuerza gravitatoria atrae a la tercera masa hacia las otras dos, de modo que fuerza y desplazamiento tienen el mismo sentido. Dicho de otro modo, la masa pasa de una región de potencial nulo a otra de potencial negativo, es decir, queda más ligada.