Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

P1. Dimorphos es el nombre de un asteroide alrededor del cual orbita otro más pequeño llamado Dimorphos. En septiembre de 2022 la sonda Dart de la NASA impactó deliberadamente contra Dimorphos para cambiar su órbita. Antes del impacto el periodo orbital de Dimorphos alrededor de Didymos era de 12 horas. Suponiendo que las órbitas son circulares y que Didymos es esférico, calcular:
a) La velocidad de escape desde la superficie de Didymos. (1 punto)
b) El radio orbital de Dimorphos alrededor de Didymos antes del choque. (1 punto)
c) La variación de energía mecánica que experimentó Dimorphos si tras el impacto pasó a una nueva órbita a 32 minutos menor que antes. (1 punto)
Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; masa de Didymos $=5\cdot {10}^{11}\text{ kg}$; masa de Dimorphos $=4\cdot {10}^9\text{ kg}$; diámetro de Didymos $=780\text{ m}$.

Recogemos primero los datos del sistema. Didymos, el asteroide central, tiene masa $M=5\cdot {10}^{11}\text{ kg}$ y un diámetro de $780\text{ m}$, luego su radio es $R=390\text{ m}$. Dimorphos, su satélite, tiene masa $m=4\cdot {10}^9\text{ kg}$ y lo orbita con un periodo $T=12\text{ h}=43200\text{ s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Didymos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica en la superficie sea nula, es decir, que el cuerpo llegue al infinito con velocidad nula:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_0{v}_e^2-G{\displaystyle \frac{M{m}_0}{R}}=0\Rightarrow v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 5\cdot {10}^{11}}{390}}}=\mathrm{0,414}\text{ m/s}$

La velocidad de escape es de apenas $41\text{ cm/s}$, un valor diminuto que corresponde a lo pequeño que es el asteroide: bastaría un salto para escapar de él.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Dimorphos}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Didymos}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{choque.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. Escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo obtenemos la tercera ley de Kepler:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}r\Rightarrow r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 5\cdot {10}^{11}\cdot (43200{)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{1,16}\cdot {10}^3\text{ m}$

Dimorphos orbitaba a $1164\text{ m}$ del centro de Didymos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{experiment}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{Dimorphos}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{tras}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{impacto}}\mathbf{\text{pas}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nueva}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{32}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{antes.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El nuevo periodo es $T^{\mathrm{\prime }}=12\text{ h}-32\text{ min}=41280\text{ s}$, y aplicando de nuevo la tercera ley de Kepler:

$r^{\mathrm{\prime }}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^{\mathrm{\prime }2}}{4{\pi }^2}}}=1129\text{ m}$

La órbita se ha encogido, que era justamente el objetivo de la misión DART.





La energía mecánica de una órbita circular es la mitad de la potencial:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{GMm}{r}}-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

Calculamos ambas, con $GMm=\mathrm{1,334}\cdot {10}^{11}\text{ J}\cdot \text{m}$:

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,334}\cdot {10}^{11}}{2\cdot 1164}}=-\mathrm{5,73}\cdot {10}^7\text{ J}$

$E^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,334}\cdot {10}^{11}}{2\cdot 1129}}=-\mathrm{5,91}\cdot {10}^7\text{ J}$

$\mathrm{\Delta }E=E^{\mathrm{\prime }}-E=-\mathrm{1,76}\cdot {10}^6\text{ J}$

Dimorphos perdió $\mathrm{1,76}\cdot {10}^6\text{ J}$ de energía mecánica. El signo negativo era de esperar: al acercarse a Didymos su energía se hace más negativa, es decir, queda más ligado, que es exactamente el efecto que buscaba el impacto de la sonda.