Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

C1. Dos cuerpos de masa $3m$ y $4m$ respectivamente están separados una distancia $d$. Determinar el punto de la recta que los une donde el campo gravitatorio es cero. ¿Existe algún punto donde el potencial gravitatorio sea nulo? (Razonar la respuesta). (1 punto)

El campo creado por una masa apunta siempre hacia ella, de modo que el campo total solo puede anularse en un punto situado entre las dos masas: allí los dos campos tienen sentidos opuestos. Fuera del segmento ambos apuntarían en el mismo sentido y su suma nunca sería nula.





Situamos el punto $P$ a una distancia $x$ de la masa $3m$ e imponemos que los dos módulos sean iguales:

${\displaystyle \frac{G(3m)}{x^2}}={\displaystyle \frac{G(4m)}{(d-x{)}^2}}$

Se simplifican $G$ y $m$:

${\displaystyle \frac{(d-x{)}^2}{x^2}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{d-x}{x}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Se toma solo la raíz positiva, pues ambas distancias lo son. Despejando:

$\sqrt{3}d=x(2+\sqrt{3})\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}d=(2\sqrt{3}-3)d=\mathrm{0,464}d$

El punto de campo nulo dista $\mathrm{0,464}d$ de la masa $3m$ y $\mathrm{0,536}d$ de la masa $4m$: está más cerca de la masa menor, como cabía esperar, porque esta crea un campo más débil y necesita menos distancia para compensarse.

En cuanto al potencial, la respuesta es que no existe ningún punto donde se anule. El potencial creado por una masa es

$V=-{\displaystyle \frac{GM}{r}}$

magnitud escalar y siempre negativa. El potencial total en cualquier punto de la recta es la suma de dos cantidades negativas:

$V=-{\displaystyle \frac{G(3m)}{x}}-{\displaystyle \frac{G(4m)}{d-x}}<0$

y nunca puede anularse a distancia finita. Aquí está la diferencia esencial con el campo: el campo es vectorial y se cancela porque los dos vectores tienen sentidos opuestos, mientras que los potenciales, al ser escalares y del mismo signo, solo se suman. El potencial tiende a cero únicamente en el infinito.