Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

P1. Este año se conmemora el 60 aniversario del primer vuelo espacial de un ser humano, llevado por Yuri Gagarin a bordo de la nave Vostok con una masa conjunta (nave más astronauta) de $2500\text{ kg}$, que se puso en órbita a $315\text{ km}$ de la superficie de la Tierra.

a) Determinar la aceleración de la gravedad debida a la Tierra en el punto de la órbita anterior. (1 punto)

b) Si la Vostok estuvo en órbita durante $90\text{ s}$, ¿cuántas vueltas dio a la Tierra estando en órbita? (1 punto)

c) ¿Qué energía extra mínima habría que aportar para que desde esa órbita abandonara completamente la influencia de la Tierra? (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; masa de la Tierra $=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra $=6371\text{ km}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{debida}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La nave orbita a una distancia del centro de la Tierra igual al radio terrestre más la altura de la órbita:

$r=R_T+h=6371+315=6686\text{ km}=\mathrm{6,686}\cdot {10}^6\text{ m}$





La aceleración de la gravedad en ese punto es la intensidad del campo gravitatorio que crea la Tierra:

$g={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,686}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{8,91}{\text{m/s}}^2$

A esa altura la gravedad es de $\mathrm{8,91}{\text{m/s}}^2$, apenas un $9\mathrm{\%}$ menor que en la superficie: la ingravidez que experimentaban Gagarin y su nave no se debía a la ausencia de gravedad, sino a que ambos caían libremente en su órbita.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Vostok}}\mathbf{\text{estuvo}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{vueltas}}\mathbf{\text{dio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{estando}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Igualamos la fuerza gravitatoria a la centrípeta y despejamos la velocidad orbital:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,686}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,72}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El periodo es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,686}\cdot {10}^6}{\mathrm{7,72}\cdot {10}^3}}=\mathrm{5,44}\cdot {10}^3\text{ s}$

es decir, unos $\mathrm{90,7}\text{ minutos}$ por vuelta. Con el dato literal del enunciado, $90\text{ s}$, el número de vueltas sería:

$n={\displaystyle \frac{90}{\mathrm{5,44}\cdot {10}^3}}=\mathrm{0,017}\text{ vueltas}$

Ese resultado carece de sentido físico, y el dato coherente es $90\text{ minutos}$, la duración real del vuelo de Gagarin:

$n={\displaystyle \frac{90\cdot 60}{\mathrm{5,44}\cdot {10}^3}}=\mathrm{0,99}\approx 1\text{ vuelta}$

La Vostok dio, por tanto, una única vuelta completa a la Tierra, que es exactamente lo que ocurrió en aquel primer vuelo tripulado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{extra}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aportar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{esa}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{abandonara}}\mathbf{\text{completamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{influencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 2500}{2\cdot \mathrm{6,686}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{7,44}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

Para abandonar completamente la influencia de la Tierra la nave debe llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica total cero. La energía mínima que hay que aportar es, por tanto:

$\mathrm{\Delta }E=0-(-\mathrm{7,44}\cdot {10}^{10})=\mathrm{7,44}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

Harían falta $\mathrm{74,4}\text{ GJ}$ adicionales, energía comparable a la que libera la combustión de unas dos mil toneladas de queroseno.