Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

P1. En el año 1977 se lanzó al espacio la sonda espacial Voyager-2 la cual, tras visitar los planetas exteriores del sistema solar, sigue a día de hoy una trayectoria de salida del mismo con una velocidad de $15\text{ km/s}$. Actualmente se encuentra a $\mathrm{1,8}\cdot {10}^{10}\text{ km}$ del Sol.

a) Determinar la aceleración de la gravedad debida al Sol en el punto en que se encuentra la sonda actualmente. (1 punto)

b) Calcular la velocidad mínima que debería tener la sonda para poder escapar del sistema solar desde el punto en que se encuentra actualmente. ¿Lo conseguirá si no recibe ningún impulso de sus propulsores? (1 punto)

c) Suponiendo que el Sol, Júpiter y la Voyager-2 estuvieran alineados, determinar a qué distancia de Júpiter el potencial gravitatorio que sentiría la sonda debido al Sol sería igual que el debido a Júpiter. (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; masa del Sol $=M_{\text{Sol}}=2\cdot {10}^{30}\text{ kg}$; masa de Júpiter $=M_{\text{Sol}}\mathrm{/}1000$; distancia Sol-Júpiter $=778$ millones de km

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{debida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{Sol}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{actualmente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Pasamos primero la distancia al Sistema Internacional, $r=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{13}\text{ m}$. La aceleración de la gravedad es el módulo de la intensidad del campo gravitatorio que crea el Sol a esa distancia:

$g={\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Sol}}}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 2\cdot {10}^{30}}{(\mathrm{1,8}\cdot {10}^{13}{)}^2}}$

$g=\mathrm{4,12}\cdot {10}^{-7}{\text{m/s}}^2$

Es un valor diminuto, veinte millones de veces menor que la gravedad terrestre, que confirma lo extraordinariamente débil que resulta la atracción solar a esa distancia.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{poder}}\mathbf{\text{escapar}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{solar}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{actualmente.}}\mathbf{\text{¿Lo}}\mathbf{\text{conseguir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{recibe}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impulso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{propulsores?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La velocidad de escape es la mínima con la que la sonda llegaría al infinito con velocidad nula. Imponemos que la energía mecánica sea cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-G{\displaystyle \frac{M_{\text{Sol}}m}{r}}=0\Rightarrow v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_{\text{Sol}}}{r}}}$

La masa de la sonda se cancela. Sustituimos:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 2\cdot {10}^{30}}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{13}}}}=\mathrm{3,85}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape es de $\mathrm{3,85}\text{ km/s}$, muy inferior a los $15\text{ km/s}$ a los que viaja la Voyager-2. Su energía mecánica es, por tanto, positiva, y escapará del sistema solar sin necesidad de ningún impulso adicional de sus propulsores.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Sol,}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Voyager-2}}\mathbf{\text{estuvieran}}\mathbf{\text{alineados,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sentir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{Sol}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El potencial creado por una masa a una distancia $s$ es $V=-GM\mathrm{/}s$. Llamamos $x$ a la distancia del punto al Sol e $y$ a su distancia a Júpiter, de modo que $x+y=d$ con $d=\mathrm{7,78}\cdot {10}^{11}\text{ m}$.





Igualamos ambos potenciales, teniendo en cuenta que la masa de Júpiter es mil veces menor que la del Sol:

${\displaystyle \frac{M_{\text{Sol}}}{x}}={\displaystyle \frac{M_{\text{Sol}}\mathrm{/}1000}{y}}\Rightarrow x=1000y$

Sustituimos en la suma de distancias:

$1000y+y=d\Rightarrow y={\displaystyle \frac{d}{1001}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,78}\cdot {10}^{11}}{1001}}=\mathrm{7,77}\cdot {10}^8\text{ m}$

El punto donde los dos potenciales se igualan está a unos $\mathrm{7,77}\cdot {10}^5\text{ km}$ de Júpiter, es decir, muchísimo más cerca de él que del Sol. Era lo esperable: al ser su masa mil veces menor, Júpiter solo alcanza el mismo potencial que el Sol a una distancia mil veces más corta.