Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

T1. Energía potencial gravitatoria. (1 punto)

$\mathbf{\text{T1.}}\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La interacción gravitatoria es conservativa: el trabajo que realiza al desplazar una masa entre dos puntos no depende de la trayectoria, sino solo de las posiciones inicial y final. Por eso puede asociársele una función escalar, la energía potencial gravitatoria, tal que el trabajo del campo sea igual a su disminución:

$W_{A\to B}=-\mathrm{\Delta }{E}_p=E_{p,A}-E_{p,B}$

Para dos masas puntuales separadas una distancia $r$, la fuerza viene dada por la ley de gravitación universal, $\vec{F}=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}{\vec{u}}_r$, y calculando su trabajo al traer una de ellas desde el infinito se obtiene:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

expresada en julios.










En esa expresión se ha tomado como origen la situación en que las masas están infinitamente separadas. Como la fuerza es atractiva y hay que aportar trabajo para alejarlas, la energía potencial es siempre negativa y crece hacia cero a medida que aumenta la distancia. El sistema está tanto más ligado cuanto más negativa es.





Es una magnitud escalar asociada al sistema de las dos masas, no a una sola. Si una masa interacciona con varias, la energía potencial total es la suma algebraica de las energías de cada par:

$E_p=-Gm{\sum }_i{\displaystyle \frac{M_i}{r_i}}$

La energía potencial por unidad de masa define el potencial gravitatorio creado por $M$:

$V={\displaystyle \frac{E_p}{m}}=-G{\displaystyle \frac{M}{r}}$

medido en julios por kilogramo, de manera que $E_p=mV$. El potencial es una propiedad del campo; la energía potencial, del sistema.

Por último, en ausencia de fuerzas no conservativas la energía mecánica se conserva:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}=\text{cte}$

relación que permite calcular la velocidad de escape imponiendo $E_m=0$, o estudiar el movimiento de satélites y planetas.