Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

A.1.- Recientemente, se ha descubierto un planeta muy similar a la Tierra que orbita alrededor de una estrella enana roja, cuya masa es un 12 % de la masa del Sol, y cuyo radio es el 14 % del radio solar. Se ha podido obtener el periodo del planeta alrededor de la mencionada estrella: 11,2 días. Determina:

a) La aceleración de la gravedad sobre la superficie de la estrella
b) El radio de la órbita del planeta suponiendo ésta circular
c) La energía de más, sobre la que ya tiene, que hay que suministrar al planeta para que escape de la influencia gravitatoria de la estrella.

Datos:
Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$
Masa del Sol, $M_S=\mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}$
Radio del Sol, $R_S=7\cdot {10}^8\mathrm{m}$

Conviene escribir primero la masa y el radio de la estrella a partir de los porcentajes del enunciado:

$M=\mathrm{0,12}{M}_S=\mathrm{0,12}\cdot \mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}=\mathrm{2,388}\cdot {10}^{29}\text{ kg}$

$R=\mathrm{0,14}{R}_S=\mathrm{0,14}\cdot 7\cdot {10}^8=\mathrm{9,8}\cdot {10}^7\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estrella.}}$

La aceleración de la gravedad en la superficie es la intensidad del campo gravitatorio allí. Se obtiene igualando el peso de un cuerpo a la atracción gravitatoria que la estrella ejerce sobre él; la masa del cuerpo se simplifica.

$mg=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}\Rightarrow g={\displaystyle \frac{GM}{R^2}}$

$g={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{2,388}\cdot {10}^{29}}{{(\mathrm{9,8}\cdot {10}^7)}^2}}=\mathrm{1,66}\cdot {10}^3{\text{m/s}}^2$

En la superficie de la enana roja la gravedad vale $\mathrm{1,66}\cdot {10}^3{\text{m/s}}^2$, unas ciento setenta veces la terrestre. Aunque la estrella tiene poca masa comparada con el Sol, su radio es aún más pequeño en proporción, y como la gravedad va con el cuadrado del radio el resultado es mucho mayor que el solar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{suponiendo}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sta}}\mathbf{\text{circular.}}$

Se aplica la condición de órbita circular: la atracción gravitatoria de la estrella hace de fuerza centrípeta del planeta. Escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo se llega a la tercera ley de Kepler, de donde se despeja el radio.

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}r\Rightarrow r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

El periodo hay que pasarlo a segundos:

$T=\mathrm{11,2}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}=\mathrm{11,2}\cdot 24\cdot 3600=\mathrm{9,677}\cdot {10}^5\text{ s}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{2,388}\cdot {10}^{29}\cdot {(\mathrm{9,677}\cdot {10}^5)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{7,23}\cdot {10}^9\text{ m}$

El radio de la órbita es de $\mathrm{7,23}\cdot {10}^9\text{ m}$, unas veinte veces menor que el de la órbita terrestre alrededor del Sol. Este es el rasgo típico de los planetas descubiertos en torno a enanas rojas: giran muy cerca de su estrella y completan una vuelta en pocos días.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ya}}\mathbf{\text{tiene,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{influencia}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estrella.}}$

Escapar de la influencia gravitatoria significa llegar al infinito con energía mecánica nula. La energía que hay que aportar es, por tanto, la que falta desde la energía mecánica de la órbita hasta cero.

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{GMm}{r}}-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

$\mathrm{\Delta }E=0-E_m={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{2,388}\cdot {10}^{29}}{2\cdot \mathrm{7,23}\cdot {10}^9}}m$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{1,10}\cdot {10}^{9}m\text{ J}$

El enunciado no da la masa del planeta, así que el resultado queda en función de ella: hay que suministrar $\mathrm{1,10}\cdot {10}^9\text{ J}$ por cada kilogramo de planeta. Esa cantidad coincide con la energía cinética que el planeta ya tiene en su órbita, de modo que bastaría con multiplicar su velocidad orbital por $\sqrt{2}$ para que escapara.