Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

A.1.- Una nave espacial ha quedado atrapada en una órbita circular en torno a un planeta esférico desconocido. Los sistemas de navegación de la nave indican que su velocidad orbital es de $25000km\cdot h^{-1}$ y que tarda 5 horas en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a) Determine el radio de la órbita circular de la nave
b) Calcular la masa del planeta.
c) Si la densidad del planeta es de $16150Kg\cdot m^{-3}$, calcule el radio del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

Datos:
Constante de Gravitación Universal: $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}N\cdot m^2\cdot K{g}^{-2}$

Antes de operar conviene pasar los datos al Sistema Internacional:

$v=25000{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}={\displaystyle \frac{25000\cdot {10}^3}{3600}}=6944\text{ m/s };T=5\text{ h}=18000\text{ s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave.}}$

La nave describe un movimiento circular uniforme, de modo que en un periodo recorre la longitud completa de la circunferencia:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{vT}{2\pi }}={\displaystyle \frac{6944\cdot 18000}{2\pi }}$

$r=\mathrm{1,99}\cdot {10}^7\text{ m}$

El radio de la órbita es de $\mathrm{1,99}\cdot {10}^7\text{ m}$, casi veinte mil kilómetros medidos desde el centro del planeta. Este apartado es pura cinemática: todavía no ha hecho falta ninguna hipótesis sobre el planeta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

Ahora sí entra la dinámica. La atracción gravitatoria del planeta es la única fuerza sobre la nave y hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow M={\displaystyle \frac{v^{2}r}{G}}$

La masa de la nave se simplifica, lo que es afortunado: no la conocemos.

$M={\displaystyle \frac{{6944}^2\cdot \mathrm{1,99}\cdot {10}^7}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}}}=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$

La masa del planeta es de $\mathrm{1,44}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$, unas dos veces y media la de la Tierra. Obsérvese el método: observando el movimiento de un satélite se pesa el astro alrededor del cual gira, sin necesidad de acercarse a él.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{densidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">16</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mn\; mathvariant="bold">150</mn><mtext> kg</mtext><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mtext>m</mtext><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mrow></msup></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie.}}$

Suponiendo el planeta esférico y homogéneo, su masa es el producto de la densidad por el volumen de la esfera:

$M=\rho V=\rho {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3\Rightarrow R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3M}{4\pi \rho }}}$

$R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{1,44}\cdot {10}^{25}}{4\pi \cdot 16150}}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^6\text{ m}$

Con el radio ya conocido, la gravedad en la superficie sale de la ley de gravitación:

$g={\displaystyle \frac{GM}{R^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,44}\cdot {10}^{25}}{{(\mathrm{5,97}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{26,9}{\text{m/s}}^2$

El planeta tiene un radio de $\mathrm{5,97}\cdot {10}^6\text{ m}$, muy parecido al terrestre, y una gravedad superficial de $\mathrm{26,9}{\text{m/s}}^2$, casi tres veces la de la Tierra. La razón es su densidad: con un tamaño semejante al de nuestro planeta contiene mucha más masa, lo que apunta a un cuerpo rocoso o metálico especialmente compacto. Nótese también que la órbita de la nave está a algo más de tres radios planetarios del centro.