Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

1. La masa de un cuerpo es de $100kg$ sobre la superficie de Marte, donde la intensidad del campo gravitatorio es de $3.7m{s}^{-2}$.

a) ¿Cuál es el peso de dicho cuerpo sobre la superficie de un planeta de igual masa que la de Marte, pero con la mitad de su radio?
b) ¿Cuál sería el nuevo peso del cuerpo si se encuentra sobre la superficie de un tercer planeta de igual radio que Marte, pero con la tercera parte de la masa de éste?
c) En el caso de los tres planetas: Marte, y los de las preguntas a) y b); si un cuerpo de masa $m$ se coloca orbitando en una órbita circular de radio $2\times R_{\text{Marte}}$, compara las velocidades en cada caso.

Conviene partir de la relación entre la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta y su masa y su radio, que se obtiene igualando el peso a la atracción gravitatoria:

$mg=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}\Rightarrow g={\displaystyle \frac{GM}{R^2}}$

En Marte, el peso del cuerpo vale:

$P_M=m{g}_M=100\cdot \mathrm{3,7}=370\text{ N}$

Obsérvese que la masa del cuerpo, $100\text{ kg}$, es la misma en todas partes: lo que cambia de un planeta a otro es el peso.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{radio?}}$

Se escribe la gravedad del nuevo planeta en función de la de Marte, sin necesidad de conocer ni $M_M$ ni $R_M$ por separado:

$g_1={\displaystyle \frac{G{M}_M}{{\left({\displaystyle \frac{R_M}{2}}\right)}^2}}=4{\displaystyle \frac{G{M}_M}{R_M^2}}=4g_M$

$P_1=m{g}_1=4\cdot 100\cdot \mathrm{3,7}=1480\text{ N}$

En ese planeta el cuerpo pesaría $1480\text{ N}$, cuatro veces más que en Marte. Reducir el radio a la mitad manteniendo la masa acerca la superficie al centro y multiplica la gravedad por cuatro, porque depende del inverso del cuadrado de la distancia.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Marte,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ste?}}$

$g_2={\displaystyle \frac{G{\displaystyle \frac{M_M}{3}}}{R_M^2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{G{M}_M}{R_M^2}}={\displaystyle \frac{g_M}{3}}$

$P_2=m{g}_2={\displaystyle \frac{100\cdot \mathrm{3,7}}{3}}=\mathrm{123,3}\text{ N}$

En este tercer planeta el cuerpo pesaría $\mathrm{123,3}\text{ N}$, la tercera parte que en Marte. La dependencia con la masa es lineal, no cuadrática, y por eso el efecto es más suave que el del apartado anterior.



Para una órbita circular, la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y la masa del cuerpo que orbita se simplifica:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$

La velocidad orbital depende únicamente de la masa del planeta y del radio de la órbita, nunca del radio del planeta, que aquí ni siquiera aparece. Como el radio de la órbita es el mismo en los tres casos, $r=2R_M$, basta comparar las masas.

$v_M=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_M}{2R_M}}};v_1=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_M}{2R_M}}}=v_M;v_2=\sqrt{{\displaystyle \frac{G\frac{M_M}{3}}{2R_M}}}={\displaystyle \frac{v_M}{\sqrt{3}}}$

$v_M=v_1=\sqrt{3}{v}_2$

La velocidad orbital es la misma en Marte y en el planeta del apartado a), porque tienen la misma masa y la órbita es la misma; que uno sea más pequeño no influye en absoluto, ya que fuera del planeta el campo es el que crearía toda su masa concentrada en el centro. En el planeta del apartado b), en cambio, la velocidad es $\sqrt{3}$ veces menor, esto es, un $58\mathrm{\%}$ de la de los otros dos, porque su masa es la tercera parte y atrae con menos fuerza.