Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

B.1.- Ley de Gravitación Universal de Newton. Intensidad de campo. Definición del campo creado por una masa puntual (o esférica). Ejemplos: el campo gravitatorio terrestre.

$\mathbf{\text{Ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Gravitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{Universal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Newton.}}$

Newton la enunció en 1687 en los Principia, unificando en una sola ley la caída de los cuerpos en la Tierra y el movimiento de los planetas. Dice que dos masas puntuales cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

$\vec{F}=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}{\vec{u}}_r$

siendo ${\vec{u}}_r$ el vector unitario que va de la masa que crea la fuerza a la que la sufre, y $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$ la constante de gravitación universal, que Cavendish midió por primera vez en 1798 con una balanza de torsión.

De la expresión conviene retener cuatro rasgos: la fuerza es siempre atractiva, de ahí el signo negativo; es central, pues su dirección es la de la recta que une las dos masas; es conservativa, lo que permite definir una energía potencial; y es universal, la misma para una manzana y para un planeta.

$\mathbf{\text{Intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo.}}\mathbf{\text{Definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{esf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica).}}$

Para evitar la dificultad conceptual de la acción a distancia se introduce la idea de campo: la masa $M$ modifica el espacio a su alrededor, y otra masa colocada en él sufre la fuerza por interacción local con esa modificación.

La intensidad del campo gravitatorio en un punto se define como la fuerza por unidad de masa que sufriría allí una masa de prueba:

$\vec{g}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m}}=-G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}{\vec{u}}_r$

Es una magnitud vectorial que se mide en $\text{N/kg}$, o equivalentemente en ${\text{m/s}}^2$, ya que coincide numéricamente con la aceleración que adquiriría un cuerpo abandonado en ese punto. No depende de la masa de prueba, sino solo de la que crea el campo y de la distancia.



Sus líneas de fuerza son radiales y dirigidas hacia la masa, y las superficies equipotenciales, esferas concéntricas con ella, perpendiculares en todo punto a aquellas. El potencial asociado es:

$V=-{\displaystyle \frac{GM}{r}}$

Si hay varias masas, el campo total es la suma vectorial de los campos de cada una, por el principio de superposición. Y para una masa esférica y homogénea se demuestra que, en todos los puntos exteriores a ella, el campo es exactamente el mismo que crearía toda su masa concentrada en el centro; ese resultado, que Newton tardó años en probar, es el que permite tratar los planetas como masas puntuales.

$\mathbf{\text{Ejemplos:}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{terrestre.}}$

Aplicando lo anterior a la Tierra, con $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$ y $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$, el campo en la superficie vale:

$g_0={\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,37}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{9,8}\text{ N/kg}$

que es la conocida aceleración de la gravedad. A una altura $h$ sobre la superficie:

$g={\displaystyle \frac{G{M}_T}{{(R_T+h)}^2}}=g_0{\displaystyle \frac{R_T^2}{{(R_T+h)}^2}}$

La disminución con la altura es muy lenta mientras $h$ sea pequeña frente al radio terrestre: en la órbita de la Estación Espacial Internacional, a unos $400\text{ km}$, la gravedad sigue valiendo casi el noventa por ciento de la de la superficie. La ingravidez que allí se experimenta no se debe, por tanto, a la falta de gravedad, sino a que la estación está en caída libre permanente alrededor del planeta.