Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

PREGUNTA 1. Interacción gravitatoria. Responda indicando y justificando la opción correcta. (2 puntos)

1.1. Un satélite se mueve en una órbita estable alrededor de un planeta. Su momento angular respecto al centro del planeta: a) aumenta indefinidamente; b) es cero; c) permanece constante.
1.2. Sea $v_e$ la velocidad de escape de un cuerpo situado en la superficie de la Tierra. La velocidad de escape del cuerpo si éste se sitúa inicialmente a una altura medida desde la superficie igual a dos radios terrestres, será: a) $v_e\mathrm{/}3$; b) $v_e\mathrm{/}2$; c) $v_e\mathrm{/}\sqrt{3}$.

$\mathbf{\text{1.1.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{estable}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta:}}$

La respuesta correcta es la c): permanece constante.

El momento angular de un cuerpo respecto de un punto es:

$\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$

y su variación con el tiempo es igual al momento de las fuerzas que actúan:

${\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt}}=\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$

La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que es una fuerza central: tiene la dirección de $\vec{r}$. El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo, luego:

$\vec{M}=\vec{0}\Rightarrow \vec{L}=\text{constante}$

El momento angular se conserva en módulo, dirección y sentido. Que sea constante en dirección es lo que obliga a que la órbita sea plana, y que lo sea en módulo es el contenido de la segunda ley de Kepler. Se descarta la opción b) porque $\vec{r}$ y $\vec{v}$ no son paralelos en una órbita.



La respuesta correcta es la c): $v_e\mathrm{/}\sqrt{3}$.

La velocidad de escape desde una distancia $r$ del centro de la Tierra se obtiene imponiendo que el cuerpo llegue al infinito con velocidad nula, es decir, que su energía mecánica sea cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{r}}}$

En la superficie, $r=R_T$:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}$

A una altura $h=2R_T$ la distancia al centro es $r=R_T+2R_T=3R_T$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{3R_T}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}={\displaystyle \frac{v_e}{\sqrt{3}}}$

La velocidad de escape es $v_e\mathrm{/}\sqrt{3}=\mathrm{0,577}{v}_e$. El error habitual es tomar $r=2R_T$, que daría $v_e\mathrm{/}\sqrt{2}$: la altura se mide desde la superficie, pero en la ley de la gravitación la distancia se mide desde el centro.