Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite de la constelación OneWeb®, de $150\mathrm{k}\mathrm{g}$ de masa, se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de $1200\mathrm{k}\mathrm{m}$ sobre el nivel del mar. Determine:
a) Las energías potencial gravitatoria y cinética que tiene el satélite en su órbita.
b) La energía que fue necesario comunicar al satélite para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.
Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

$\mathbf{\text{A.1}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{de}}150\mathrm{k}\mathrm{g}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}1200\mathrm{k}\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mar.}}$

Reunimos primero los datos y calculamos el radio de la órbita, que es la distancia del satélite al centro de la Tierra. Este radio es el que interviene en todas las expresiones energéticas.

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}+\mathrm{1,2}\cdot {10}^6\mathrm{m}=\mathrm{7,57}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

La energía potencial gravitatoria de una masa $m$ situada a una distancia $r$ del centro de la Tierra (tomando el origen de potencial en el infinito) es:

$E_p=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$E_p=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 150\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{7,57}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}$

$\boxed{{\displaystyle E_p\approx -\mathrm{7,89}\cdot {10}^9\mathrm{J}}}$

Para la energía cinética partimos de que el movimiento es circular: la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en su órbita. Aplicamos la segunda ley de Newton:

${\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Despejando el cuadrado de la velocidad orbital:

$v^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$

Por tanto, la energía cinética del satélite es:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{E}_p$

Sustituyendo los valores:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 150\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{7,57}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}$

$\boxed{{\displaystyle E_c\approx \mathrm{3,95}\cdot {10}^9\mathrm{J}}}$

Observamos la relación característica de las órbitas circulares: $E_c=-\frac{1}{2}{E}_p$, de modo que la energía mecánica total en la órbita es

$E_{m,\acute{\text{o}}\text{rb}}=E_p+E_c=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}\approx -\mathrm{3,95}\cdot {10}^9\mathrm{J}$

valor negativo, como corresponde a un sistema ligado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{comunicar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ponerlo}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}$

Aplicamos el teorema de conservación de la energía. La energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica del satélite en su órbita y la energía mecánica que tenía inicialmente en la superficie. Suponemos que el satélite parte del reposo en la superficie (energía cinética inicial nula), de modo que su energía mecánica inicial es solo potencial:

$E_{m,\text{sup}}=E_{p,\text{sup}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}$

Sustituyendo los valores:

$E_{p,\text{sup}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 150\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}\approx -\mathrm{9,38}\cdot {10}^9\mathrm{J}$

La energía comunicada es:

$E_{\text{com}}=E_{m,\acute{\text{o}}\text{rb}}-E_{m,\text{sup}}=(E_p+E_c)-E_{p,\text{sup}}$

Sustituyendo los valores obtenidos:

$E_{\text{com}}=(-\mathrm{3,95}\cdot {10}^9\mathrm{J})-(-\mathrm{9,38}\cdot {10}^9\mathrm{J})$

$\boxed{{\displaystyle E_{\text{com}}\approx \mathrm{5,43}\cdot {10}^9\mathrm{J}}}$

Por tanto, fue necesario comunicar al satélite una energía de unos $\mathrm{5,43}\cdot {10}^9\mathrm{J}$ para elevarlo desde la superficie y dotarlo de la velocidad orbital adecuada. Despreciamos en este cálculo el rozamiento con la atmósfera y la energía cinética inicial debida a la rotación terrestre.