Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

En la película Space Cowboys un amenazador satélite militar orbita alrededor de la Tierra a una altura de $1600\mathrm{k}\mathrm{m}$ sobre la superficie terrestre.
a) Calcule la velocidad orbital del satélite y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra. Desprecie en este apartado la interacción gravitatoria de la Luna.
b) Para evitar que el satélite caiga a la Tierra se decide impulsarlo hacia la Luna. Determine la distancia $x$ al centro de la Tierra, tal y como se muestra en la figura, a la que tendrá que llegar el satélite, para que el efecto del campo gravitatorio lunar sea superior al del campo gravitatorio terrestre.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$; Masa de la Luna, $M_L=\mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Distancia de la Tierra a la Luna, $d=\mathrm{3,84}\cdot {10}^8\mathrm{m}$.

$\mathbf{\text{B.1}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pel}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{Space}}\mathbf{\text{Cowboys}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{amenazador}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{militar}}\mathbf{\text{orbita}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}h=1600\mathrm{k}\mathrm{m}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vuelta}}\mathbf{\text{completa}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{Desprecie}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{interacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna.}}$

El satélite describe una órbita circular de radio $r$ medido desde el centro de la Tierra. Este radio es la suma del radio terrestre y la altura sobre la superficie:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}+\mathrm{1,600}\cdot {10}^6\mathrm{m}=\mathrm{7,97}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el satélite actúa como fuerza centrípeta. Aplicamos la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

Despejando la velocidad orbital (la masa del satélite $m$ se simplifica):

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

Sustituyendo los valores:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{7,97}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}}=\mathrm{7,07}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle v\approx \mathrm{7,07}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}=\mathrm{7,07}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es el periodo $T$. Como en el movimiento circular uniforme el satélite recorre la longitud de la órbita $2\pi r$ con velocidad constante $v$:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$

Sustituyendo los valores:

$T={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{7,97}\cdot {10}^6\mathrm{m}}{\mathrm{7,07}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}=\mathrm{7,08}\cdot {10}^3\mathrm{s}$

Por tanto, expresándolo en minutos:

$\boxed{{\displaystyle T\approx \mathrm{7,08}\cdot {10}^3\mathrm{s}\approx 118\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{evitar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{caiga}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{impulsarlo}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{x}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{lunar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{terrestre.}}$

Tomamos como origen el centro de la Tierra. Según la figura, el satélite está a una distancia $x$ del centro de la Tierra, de modo que su distancia al centro de la Luna es $d-x$, siendo $d$ la distancia entre los centros de ambos astros.

La intensidad del campo gravitatorio creado por una masa $M$ a una distancia $s$ tiene módulo $g={\displaystyle \frac{GM}{s^2}}$. El campo terrestre y el campo lunar apuntan en sentidos opuestos sobre la recta Tierra-Luna. El punto buscado es aquel en el que ambos campos se igualan en módulo; a partir de él, al acercarse más a la Luna, predominará el campo lunar.

Igualamos los módulos de ambos campos:

${\displaystyle \frac{G{M}_T}{x^2}}={\displaystyle \frac{G{M}_L}{(d-x{)}^2}}$

Simplificando $G$ y reordenando:

${\displaystyle \frac{(d-x{)}^2}{x^2}}={\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}$

Tomando la raíz cuadrada positiva (ambas distancias son positivas):

${\displaystyle \frac{d-x}{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}$

Despejando $x$:

${\displaystyle \frac{d}{x}}=1+\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}⟹x={\displaystyle \frac{d}{1+\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}}}$

Calculamos primero el cociente de masas:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}}}}=\mathrm{0,111}$

Sustituyendo los valores:

$x={\displaystyle \frac{\mathrm{3,84}\cdot {10}^8\mathrm{m}}{1+\mathrm{0,111}}}=\mathrm{3,46}\cdot {10}^8\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle x\approx \mathrm{3,46}\cdot {10}^8\mathrm{m}}}$

Una vez que el satélite supera esta distancia (es decir, para $x>\mathrm{3,46}\cdot {10}^8\mathrm{m}$), su distancia a la Luna disminuye y la intensidad del campo gravitatorio lunar pasa a ser mayor que la del campo terrestre, atrayéndolo hacia la Luna.