Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

El satélite UPM-Sat2 se lanzó el día 3 de septiembre de 2020 a una órbita circular alrededor de la Tierra con un período de $5710\mathrm{s}$. Sabiendo que el satélite tiene una masa de $50\mathrm{k}\mathrm{g}$, calcule:

a) La altura a la que orbita y la energía que hubo que transmitirle para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.

b) La velocidad y la aceleración centrípeta en su órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

$\mathbf{\text{A.1}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{UPM-Sat2}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{lanz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}T=5710\mathrm{s}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{masa}}m=50\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbita}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hubo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{transmitirle}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ponerlo}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}$

En una órbita circular la única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria terrestre, que hace de fuerza centrípeta. Igualamos el módulo de la fuerza gravitatoria al de la fuerza centrípeta:

${\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

Como el movimiento es circular uniforme, la velocidad orbital se relaciona con el período mediante $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$. Sustituyendo esta expresión y simplificando la masa $m$ del satélite obtenemos:

${\displaystyle \frac{G{M}_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

Despejando el radio de la órbita (esta relación es la tercera ley de Kepler):

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (5710\mathrm{s}{)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{6,90}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

La altura sobre la superficie es la diferencia entre el radio orbital y el radio terrestre:

$h=r-R_T=\mathrm{6,90}\cdot {10}^6\mathrm{m}-\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle h\approx \mathrm{5,3}\cdot {10}^5\mathrm{m}}}$

Para calcular la energía que hay que comunicarle aplicamos el teorema de la energía: la energía aportada es igual a la variación de energía mecánica entre la órbita y la superficie terrestre,

$E_{\text{aportada}}=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}$

La energía mecánica de un satélite en órbita circular (suma de cinética y potencial) vale:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

donde se ha usado que, en la órbita, $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{G{M}_{T}m}{2r}$. Sustituyendo:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 50}{2\cdot \mathrm{6,90}\cdot {10}^6}}\mathrm{J}=-\mathrm{1,44}\cdot {10}^9\mathrm{J}$

En la superficie suponemos que parte del reposo, por lo que su energía mecánica es solo potencial:

$E_{\text{superficie}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 50}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}\mathrm{J}=-\mathrm{3,13}\cdot {10}^9\mathrm{J}$

Por tanto, la energía que hubo que transmitirle es:

$E_{\text{aportada}}=-\mathrm{1,44}\cdot {10}^9\mathrm{J}-(-\mathrm{3,13}\cdot {10}^9\mathrm{J})$

$\boxed{{\displaystyle E_{\text{aportada}}\approx \mathrm{1,68}\cdot {10}^9\mathrm{J}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{centr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{peta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

La velocidad orbital la obtenemos directamente de la relación entre el período y la longitud de la circunferencia descrita:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,90}\cdot {10}^6\mathrm{m}}{5710\mathrm{s}}}$

$\boxed{{\displaystyle v\approx \mathrm{7,59}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

(El mismo valor se obtiene con $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$, lo que confirma el resultado.)

La aceleración centrípeta apunta hacia el centro de la Tierra y, en este movimiento circular uniforme, coincide con la aceleración de la gravedad a esa altura. Su módulo es:

$a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{7,59}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{6,90}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}$

$\boxed{{\displaystyle a_c\approx \mathrm{8,36}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}}$

Como comprobación, $a_c={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,90}\cdot {10}^6{)}^2}}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\approx \mathrm{8,36}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$, valor algo inferior a la gravedad en la superficie, como cabe esperar al aumentar la distancia al centro de la Tierra.