Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2022

B.4 (2 puntos). Una lámina de vidrio se halla sobre un líquido de índice de refracción desconocido. La longitud de onda de la luz en el vidrio se reduce a un $70\mathrm{\%}$ de su valor en el aire. Si se emite luz desde el líquido, los rayos con ángulos de incidencia superiores a ${30}^{\circ }$ en la cara inferior de la lámina no se refractan al aire por su cara superior. Calcule:

a) El índice de refracción del vidrio.

b) El índice de refracción del líquido.

Dato: Índice de refracción del aire, $n_{aire}=1$.

$\mathbf{\text{B.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{halla}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desconocido.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduce}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}70\mathrm{\%}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{con}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{superiores}}\mathbf{\text{a}}{30}^{\circ }\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{refractan}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{superior.}}$

El montaje consta de tres medios apilados: el líquido (medio inferior, índice $n_L$ desconocido), la lámina de vidrio (medio intermedio, índice $n_v$) y el aire por encima (índice $n_{aire}=1$). Un rayo emitido desde el líquido atraviesa primero la cara inferior (interfase líquido-vidrio) y, dentro del vidrio, alcanza la cara superior (interfase vidrio-aire). Recordemos dos ideas clave de óptica geométrica:

Primera, la frecuencia de una onda no cambia al pasar de un medio a otro (la impone la fuente), pero sí cambia su velocidad de propagación y, con ella, su longitud de onda. Como el índice de refracción es $n={\displaystyle \frac{c}{v}}$ y $v=\lambda f$, se cumple que la longitud de onda en un medio vale $\lambda ={\displaystyle \frac{{\lambda }_{aire}}{n}}$.

Segunda, cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente existe un ángulo límite ${\theta }_L$ por encima del cual se produce reflexión total: el rayo deja de refractarse al segundo medio. Ese ángulo límite corresponde a un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio.}}$

La longitud de onda en el vidrio es la longitud de onda en el aire dividida por el índice del vidrio:

${\lambda }_v={\displaystyle \frac{{\lambda }_{aire}}{n_v}}$

El enunciado dice que esa longitud de onda se reduce al $70\mathrm{\%}$ de su valor en el aire, es decir:

${\lambda }_v=\mathrm{0,70}{\lambda }_{aire}$

Igualando ambas expresiones:

$\mathrm{0,70}{\lambda }_{aire}={\displaystyle \frac{{\lambda }_{aire}}{n_v}}$

Despejando el índice del vidrio (la ${\lambda }_{aire}$ se cancela):

$n_v={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,70}}}$

Sustituyendo y operando:

$n_v={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,70}}}=\mathrm{1,4286}$

Por tanto, el índice de refracción del vidrio es:

$\boxed{{\displaystyle n_v\approx \mathrm{1,43}}}$

Como debe ser, $n_v>1$: la luz viaja más despacio en el vidrio que en el aire, por eso su longitud de onda allí es menor.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido.}}$

Analicemos la condición física que da el enunciado. Un rayo sale del líquido e incide en la cara inferior (interfase líquido-vidrio) con un ángulo ${\theta }_1$; se refracta hacia el vidrio con un ángulo ${\theta }_2$ y, dentro del vidrio, llega a la cara superior (interfase vidrio-aire), donde incide precisamente con ese mismo ángulo ${\theta }_2$ (las dos caras de la lámina son paralelas). Al aumentar el ángulo de salida ${\theta }_1$ aumenta también ${\theta }_2$, y llega un momento en que el rayo no consigue salir al aire: ha alcanzado el ángulo límite de la interfase vidrio-aire.

El enunciado afirma que esto ocurre justo cuando el ángulo de incidencia en la cara inferior supera los ${30}^{\circ }$. Es decir, ${\theta }_1={30}^{\circ }$ es el ángulo de incidencia para el cual el rayo, ya dentro del vidrio, llega a la cara superior exactamente con el ángulo límite vidrio-aire (refracción al aire de ${90}^{\circ }$).

Planteamos la ley de Snell en las dos interfases.

En la cara superior (vidrio-aire), el ángulo ${\theta }_2$ es el ángulo límite, cuyo rayo refractado sale rasante con ${90}^{\circ }$:

$n_v\mathrm{sen}{\theta }_2=n_{aire}\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

En la cara inferior (líquido-vidrio), con el ángulo de incidencia ${\theta }_1={30}^{\circ }$:

$n_L\mathrm{sen}{30}^{\circ }=n_v\mathrm{sen}{\theta }_2$

El término $n_v\mathrm{sen}{\theta }_2$ aparece en ambas ecuaciones, así que lo sustituimos: el lado derecho de la cara inferior es igual al lado izquierdo de la cara superior. Encadenando las dos leyes de Snell:

$n_L\mathrm{sen}{30}^{\circ }=n_v\mathrm{sen}{\theta }_2=n_{aire}\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

Es el comportamiento de una lámina de caras paralelas: el producto $n\mathrm{sen}\theta$ se conserva al atravesar la lámina, de modo que el vidrio intermedio no influye en el resultado final. Nos queda directamente la relación entre líquido y aire:

$n_L\mathrm{sen}{30}^{\circ }=n_{aire}\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

Despejando el índice del líquido:

$n_L={\displaystyle \frac{n_{aire}\mathrm{sen}{90}^{\circ }}{\mathrm{sen}{30}^{\circ }}}$

Sustituyendo los valores ($\mathrm{sen}{90}^{\circ }=1$ y $\mathrm{sen}{30}^{\circ }=\mathrm{0,5}$):

$n_L={\displaystyle \frac{1\cdot 1}{\mathrm{0,5}}}=2$

Por tanto, el índice de refracción del líquido es:

$\boxed{{\displaystyle n_L=2}}$

El resultado es coherente: como el líquido es más refringente que el aire ($n_L>n_{aire}$), existe un ángulo límite para el conjunto líquido-aire, y ese ángulo límite es precisamente ${30}^{\circ }$, ya que $\mathrm{sen}{\theta }_L={\displaystyle \frac{n_{aire}}{n_L}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$, esto es, ${\theta }_L={30}^{\circ }$.