Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2023

Un observador está situado al borde de un estanque de profundidad $H=2\mathrm{m}$. Su visual está a una altura $H^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,6}\mathrm{m}$ sobre la superficie del agua. En el fondo del estanque hay un foco puntual de luz. El observador lo ve cuando mira hacia el punto A de la superficie a una distancia $d=\mathrm{1,2}\mathrm{m}$ del borde (véase la figura). Calcule:



a) El índice de refracción del agua del estanque si la longitud de onda de la luz del foco vale $375\mathrm{n}\mathrm{m}$ en ella y $500\mathrm{n}\mathrm{m}$ en el aire.

b) La distancia D del foco a la pared del estanque.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$; Índice de refracción del aire, $n=1$.

$\mathbf{\text{A.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{borde}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estanque}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{profundidad}}H=2\mathrm{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{visual}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}{H}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,6}\mathrm{m}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{fondo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{estanque}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{ve}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{mira}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}d=\mathrm{1,2}\mathrm{m}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{borde.}}$

La luz que sale del foco situado en el fondo viaja por el agua, alcanza la superficie en el punto $A$ y, al pasar al aire, se refracta separándose de la normal (pues sale a un medio menos refringente). El observador, que está en el aire, ve el rayo refractado y por eso parece que el foco está en la dirección de su visual hacia $A$.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{estanque}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{vale}}375\mathrm{n}\mathrm{m}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ella}}\mathbf{\text{y}}500\mathrm{n}\mathrm{m}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire.}}$

Cuando la luz pasa de un medio a otro, su frecuencia $f$ no cambia (la impone la fuente), pero sí varían su velocidad de propagación $v$ y, en consecuencia, su longitud de onda, ya que se cumple $v=\lambda f$.

El índice de refracción de un medio se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en ese medio:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}$

Como la frecuencia es la misma en el aire y en el agua, podemos relacionar las longitudes de onda con las velocidades. En el aire (que tomamos con índice $n_{\text{aire}}=1$, es decir, velocidad $c$):

${\lambda }_{\text{aire}}={\displaystyle \frac{c}{f}}$

Y en el agua, de índice $n$ y velocidad $v={\displaystyle \frac{c}{n}}$:

${\lambda }_{\text{agua}}={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{c}{nf}}$

Dividiendo ambas expresiones, la frecuencia y la velocidad $c$ se cancelan y obtenemos directamente el índice del agua:

${\displaystyle \frac{{\lambda }_{\text{aire}}}{{\lambda }_{\text{agua}}}}={\displaystyle \frac{c\mathrm{/}f}{c\mathrm{/}(nf)}}=n$

Despejando y sustituyendo los valores con sus unidades:

$n={\displaystyle \frac{{\lambda }_{\text{aire}}}{{\lambda }_{\text{agua}}}}={\displaystyle \frac{500\mathrm{n}\mathrm{m}}{375\mathrm{n}\mathrm{m}}}=\mathrm{1,33}$

Como debe ser, resulta $n>1$ y la longitud de onda es menor en el agua que en el aire, en coherencia con que la luz se propaga más despacio en el medio más refringente.

$\boxed{{\displaystyle n=\mathrm{1,33}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{D}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pared}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{estanque.}}$

Trabajamos con el rayo que llega al ojo del observador. La normal a la superficie del agua en el punto $A$ es vertical. Llamamos $\beta$ al ángulo que el rayo forma con la normal en el aire (ángulo de refracción, del lado del observador) y $\alpha$ al ángulo que el rayo forma con la normal dentro del agua (ángulo de incidencia, del lado del foco).

Por geometría, el rayo en el aire une el ojo del observador (a una altura $H^{\mathrm{\prime }}$ sobre el agua y sobre el borde) con el punto $A$ (a una distancia $d$ del borde). El ángulo $\beta$ que forma con la vertical cumple:

$\mathrm{tg}\beta ={\displaystyle \frac{d}{H^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}\mathrm{m}}{\mathrm{1,6}\mathrm{m}}}=\mathrm{0,75}$

$\beta =\mathrm{arctg}(\mathrm{0,75})={\mathrm{36,87}}^{\circ }$

Aplicamos ahora la ley de Snell de la refracción en el punto $A$. El rayo pasa del agua (índice $n=\mathrm{1,33}$, ángulo $\alpha$) al aire (índice $n_{\text{aire}}=1$, ángulo $\beta$):

$n\cdot \mathrm{sen}\alpha =n_{\text{aire}}\cdot \mathrm{sen}\beta$

Despejando el seno del ángulo dentro del agua:

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{n_{\text{aire}}\cdot \mathrm{sen}\beta }{n}}={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{sen}{\mathrm{36,87}}^{\circ }}{\mathrm{1,33}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,600}}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{0,45}$

$\alpha =\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,45})={\mathrm{26,74}}^{\circ }$

Observamos que $\alpha <\beta$: dentro del agua el rayo está más próximo a la normal, como corresponde al medio más refringente.

Dentro del agua, el rayo va desde el foco (situado en el fondo, a profundidad $H$) hasta el punto $A$. La distancia horizontal $d^{\mathrm{\prime }}$ que recorre el rayo entre el foco y la vertical de $A$ se obtiene de su ángulo con la normal:

$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{d^{\mathrm{\prime }}}{H}}\Rightarrow d^{\mathrm{\prime }}=H\cdot \mathrm{tg}\alpha$

Sustituyendo los valores:

$d^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{m}\cdot \mathrm{tg}{\mathrm{26,74}}^{\circ }=2\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,504}=\mathrm{1,01}\mathrm{m}$

Finalmente, la distancia $D$ del foco a la pared del estanque es la suma de la distancia horizontal del borde al punto $A$ (que es $d$) más la distancia horizontal de la vertical de $A$ al foco (que es $d^{\mathrm{\prime }}$):

$D=d+d^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,2}\mathrm{m}+\mathrm{1,01}\mathrm{m}=\mathrm{2,21}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle D\approx \mathrm{2,21}\mathrm{m}}}$