Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2022

A.4 (2 puntos). Dos lentes convergentes idénticas están separadas $16\mathrm{c}\mathrm{m}$. Cuando un objeto se sitúa a una cierta distancia a la izquierda de la primera lente, se encuentra que cada una de ellas opera con aumento igual a $-1$.

a) Determine la potencia de las lentes.

b) ¿Cuánto y hacia dónde debe desplazarse la segunda lente para lograr que la imagen del sistema se forme en el infinito?

$\mathbf{\text{A.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Dos}}\mathbf{\text{lentes}}\mathbf{\text{convergentes}}\mathbf{\text{id}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nticas}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{separadas}}16\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Cuando}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cierta}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{lente,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{opera}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}-1.$

Antes de empezar conviene fijar el criterio de signos de la óptica geométrica (DIN), el que usa la EVAU de Madrid: la luz viaja de izquierda a derecha; las distancias se miden desde la lente; lo que queda a la derecha es positivo y lo que queda a la izquierda es negativo. Con este criterio, un objeto real situado a la izquierda tiene $s<0$, y la ecuación de las lentes delgadas y el aumento lateral son:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}m={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{lentes.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la condición de aumento a una de las lentes. Como las dos lentes son idénticas y cada una trabaja con $m=-1$, basta analizar una de ellas. De la definición de aumento:

$m={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-1⟹s^{\mathrm{\prime }}=-s$

Es decir, la imagen se forma a la misma distancia de la lente que el objeto, pero al otro lado y, por el signo negativo, invertida y del mismo tamaño. Llevamos esta relación a la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}⟹{\displaystyle \frac{1}{-s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}⟹-{\displaystyle \frac{2}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Despejando la posición del objeto:

$s=-2f^{\mathrm{\prime }}$

Como el objeto es real ($s<0$) y la lente es convergente ($f^{\mathrm{\prime }}>0$), el objeto está a una distancia $2f^{\mathrm{\prime }}$ delante de la lente; y, por simetría ($s^{\mathrm{\prime }}=-s$), la imagen se forma a $s^{\mathrm{\prime }}=2f^{\mathrm{\prime }}$ detrás. Este es el caso clásico de aumento $-1$: objeto e imagen en los puntos situados al doble de la distancia focal.

Ahora usamos la geometría del montaje. La imagen que produce la primera lente es el objeto de la segunda. La primera lente forma su imagen a $2f^{\mathrm{\prime }}$ a su derecha, y la segunda lente necesita su objeto a $2f^{\mathrm{\prime }}$ a su izquierda (para volver a trabajar con $m=-1$). Por tanto, la separación entre las dos lentes debe ser la suma de ambas distancias:

$d=2f^{\mathrm{\prime }}+2f^{\mathrm{\prime }}=4f^{\mathrm{\prime }}$

Sustituyendo la separación dada y despejando la distancia focal:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{d}{4}}={\displaystyle \frac{16\mathrm{c}\mathrm{m}}{4}}=4\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,04}\mathrm{m}$

La potencia es la inversa de la distancia focal imagen expresada en metros:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,04}\mathrm{m}}}=25\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}=4\mathrm{c}\mathrm{m}P=25\mathrm{D}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{desplazarse}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{lograr}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Partimos de la situación del apartado a). La primera lente no se mueve, así que su imagen $I_1$ (que es el objeto de la segunda lente) sigue formándose en el mismo sitio: a $2f^{\mathrm{\prime }}=8\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la derecha de la primera lente.

La clave física está en recordar cuándo una lente da una imagen en el infinito: los rayos salen paralelos de la lente cuando el objeto se coloca exactamente en su foco objeto. En efecto, hacemos $s^{\mathrm{\prime }}\to \mathrm{\infty }$ en la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\infty }}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}⟹-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}⟹s=-f^{\mathrm{\prime }}$

Es decir, para que la imagen final del sistema esté en el infinito, el objeto de la segunda lente (que es $I_1$) debe situarse en su foco objeto, a una distancia $f^{\mathrm{\prime }}=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ por delante de ella.

Calculamos dónde debe quedar entonces la segunda lente. Tomando como origen la posición de la primera lente y midiendo hacia la derecha, la imagen intermedia está en:

$x_{I_1}=8\mathrm{c}\mathrm{m}$

La segunda lente debe quedar un foco más a la derecha de $I_1$, para que $I_1$ caiga en su foco objeto:

$x_{L_2}^{\text{nueva}}=x_{I_1}+f^{\mathrm{\prime }}=8\mathrm{c}\mathrm{m}+4\mathrm{c}\mathrm{m}=12\mathrm{c}\mathrm{m}$

Inicialmente la segunda lente estaba en:

$x_{L_2}^{\text{inicial}}=16\mathrm{c}\mathrm{m}$

El desplazamiento necesario es la diferencia entre ambas posiciones:

$\mathrm{\Delta }x=x_{L_2}^{\text{nueva}}-x_{L_2}^{\text{inicial}}=12\mathrm{c}\mathrm{m}-16\mathrm{c}\mathrm{m}=-4\mathrm{c}\mathrm{m}$

El signo negativo indica que la lente debe acercarse a la primera, es decir, moverse hacia la izquierda. Por tanto, hay que desplazar la segunda lente $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ hacia la izquierda, de modo que la imagen de la primera lente quede justo en el foco objeto de la segunda; así los rayos emergen paralelos y la imagen del sistema se forma en el infinito.

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x=4\mathrm{c}\mathrm{m}\text{ hacia la izquierda}}}$