Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

B.4 [hasta 2,5 puntos]
Para estimar el coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de cierta universidad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores:
$\bar{x}=98\text{ puntos}$ y $s=15\text{ puntos}\mathrm{.}$
Hemos hecho la siguiente afirmación:
“El coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de esta universidad está entre 94,5 puntos y 101,5 puntos”.
¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?

En este ejercicio el intervalo de confianza viene dado y lo que se pide es el nivel de confianza, de modo que se recorre la fórmula del error máximo admisible en sentido inverso.

$n=100,\bar{x}=98,s=15$

Como no se conoce la desviación típica de la población, se estima con la de la muestra, $\sigma \approx s=15$.

El error máximo admisible es la mitad de la amplitud del intervalo.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{101,5}-\mathrm{94,5}}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}=\mathrm{3,5}$

Ahora se despeja el valor crítico de la fórmula del error.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{3,5}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{15}{\sqrt{100}}}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{15}{10}}$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}\cdot 10}{15}}={\displaystyle \frac{35}{15}}=\mathrm{2,33}$

Con ese valor crítico se recupera el nivel de confianza a partir de la tabla.

$P(Z\ge z_{\alpha \mathrm{/}2})={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\Rightarrow 1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,33})={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$

$1-\mathrm{0,9901}=\mathrm{0,0099}={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,0198}$

$1-\alpha =1-\mathrm{0,0198}=\mathrm{0,9802}$

Se puede afirmar, con un nivel de confianza del $\mathrm{98,02}\mathrm{\%}$, que el coeficiente intelectual medio del estudiantado de esa universidad está entre $\mathrm{94,5}$ y $\mathrm{101,5}$ puntos.