Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

B.4 [hasta 2,5 puntos]
De 1.000 jóvenes vascos de 25 años elegidos al azar sólo 140 no vivían con sus padres.

a) [1,25 puntos] Estima, con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje de la población de jóvenes vascos de 25 años que viven con sus padres.
b) [0,75 puntos] Calcula el error máximo admisible para dicho nivel de confianza.
c) [0,5 puntos] Interpreta los resultados obtenidos.

El enunciado da el número de jóvenes que NO viven con sus padres, y lo que se pide es la proporción de los que SÍ viven con ellos, de modo que lo primero es pasar al complementario.

$n=1000;\text{viven con sus padres}=1000-140=860$

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{860}{1000}}=\mathrm{0,86};\widehat{q}=1-\widehat{p}=\mathrm{0,14}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Estima,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{vascos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viven}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{padres.}}$

Se trata de un intervalo de confianza para una proporción. Primero se obtiene el valor crítico correspondiente al nivel de confianza pedido.

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(z_{\alpha \mathrm{/}2}\right)=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

Se calcula el error típico de la proporción muestral:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,86}\cdot \mathrm{0,14}}{1000}}}=\sqrt{\mathrm{0,0001204}}=\mathrm{0,01097}$

$(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}})=(\mathrm{0,86}-\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,01097},\mathrm{0,86}+\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,01097})$

$\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,01097}=\mathrm{0,0215}$

$(\mathrm{0,86}-\mathrm{0,0215},\mathrm{0,86}+\mathrm{0,0215})=(\mathrm{0,8385};\mathrm{0,8815})$

Con un nivel de confianza del $95\mathrm{\%}$, el porcentaje de jóvenes vascos de $25$ años que viven con sus padres está entre el $\mathrm{83,85}\mathrm{\%}$ y el $\mathrm{88,15}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{admisible}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}$

El error máximo admisible es el semiancho del intervalo de confianza, es decir, la cantidad que se ha sumado y restado a la proporción muestral.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,01097}=\mathrm{0,0215}$

Se puede comprobar dividiendo la amplitud del intervalo entre dos:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8815}-\mathrm{0,8385}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0430}}{2}}=\mathrm{0,0215}$

El error máximo admisible es de $\mathrm{0,0215}$, es decir, de un $\mathrm{2,15}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Interpreta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{obtenidos.}}$

El intervalo obtenido no afirma nada con certeza sobre la población: lo que dice es que, si se repitiese el muestreo muchas veces y se construyese cada vez un intervalo de la misma manera, el $95\mathrm{\%}$ de esos intervalos contendría la proporción verdadera.

Se puede afirmar, con un nivel de confianza del $95\mathrm{\%}$, que el porcentaje de jóvenes vascos de $25$ años que viven con sus padres está entre el $\mathrm{83,85}\mathrm{\%}$ y el $\mathrm{88,15}\mathrm{\%}$, con un error máximo del $\mathrm{2,15}\mathrm{\%}$ respecto de la estimación puntual del $86\mathrm{\%}$.