Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

5. El 20 % de los trabajadores de una empresa tiene estudios superiores y el 80 % restante no los tiene. De los que tienen estudios superiores, el 6 % fuma. Además se sabe que del total de los trabajadores, el 12 % fuma.\n a) [1,25 puntos] De los trabajadores que fuman, ¿Qué porcentaje tiene estudios superiores?\n b) [1,25 puntos] De los trabajadores que no tienen estudios superiores, ¿Qué porcentaje fuma?\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fuman,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{estudios}}\mathbf{\text{superiores?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos $S$ = «tiene estudios superiores» y $F$ = «fuma». Los datos son

$P(S)=\mathrm{0,20}P(\bar{S})=\mathrm{0,80}P(F\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,06}P(F)=\mathrm{0,12}$

La probabilidad de tener estudios superiores y fumar es el producto de la rama correspondiente:

$P(S\cap F)=P(S)\cdot P(F\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,06}=\mathrm{0,012}$

y ahora se aplica el teorema de Bayes:

$P(S\mathrm{\mid }F)=\frac{P(S\cap F)}{P(F)}=\frac{\mathrm{0,012}}{\mathrm{0,12}}=\mathrm{0,10}$

De los trabajadores que fuman, un $\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%}}$ tiene estudios superiores. Es la mitad del 20 % que representan en la plantilla, lo que ya sugiere que fuman bastante menos que la media.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{estudios}}\mathbf{\text{superiores,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{fuma?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total, en el que la única incógnita es la probabilidad pedida:

$P(F)=P(S)P(F\mathrm{\mid }S)+P(\bar{S})P(F\mathrm{\mid }\bar{S})$

$\mathrm{0,12}=\mathrm{0,012}+\mathrm{0,80}\cdot P(F\mathrm{\mid }\bar{S})$

$P(F\mathrm{\mid }\bar{S})=\frac{\mathrm{0,12}-\mathrm{0,012}}{\mathrm{0,80}}=\frac{\mathrm{0,108}}{\mathrm{0,80}}=\mathrm{0,135}$

Entre los trabajadores sin estudios superiores fuma el $\mathbf{\text{13,5}}\mathbf{\text{\%}}$, más del doble que entre los que sí los tienen. Los dos sucesos no son, por tanto, independientes.