Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

6. En el primer curso de un grado, el 60 % de los estudiantes son mujeres y el 40 % restante son hombres. Además se sabe que el 80 % de las mujeres y el 75 % de los hombres aprobaron el examen de matemáticas. Si se elige un estudiante de ese curso al azar,
a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que ese hombre y esa mujer haya suspendido matemáticas?
b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado matemáticas?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{hombre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{suspendido}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $M$ = «es mujer», $H$ = «es hombre» y $A$ = «aprueba matemáticas». Los datos son

$P(M)=\mathrm{0,60}P(H)=\mathrm{0,40}P(A\mathrm{\mid }M)=\mathrm{0,80}P(A\mathrm{\mid }H)=\mathrm{0,75}$



Si el 75 % de los hombres aprueba, el 25 % restante suspende. La probabilidad pedida es el producto de esa rama:

$P(H\cap \bar{A})=P(H)P(\bar{A}\mathrm{\mid }H)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,10}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,10}}$: uno de cada diez estudiantes del curso es un hombre que ha suspendido matemáticas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Mujeres y hombres forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total:

$P(A)=P(M)P(A\mathrm{\mid }M)+P(H)P(A\mathrm{\mid }H)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,80}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,75}$

$P(A)=\mathrm{0,48}+\mathrm{0,30}=\mathrm{0,78}$

Aprueba matemáticas el $\mathbf{\text{78}}\mathbf{\text{\%}}$ del curso. El resultado queda entre el 75 % y el 80 % de los dos grupos, más cerca del 80 % porque las mujeres son mayoría.