Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

8.Una fábrica de quesos quiere estudiar el tiempo que tarda el producto en estropearse si no se envasa. Para ello, considera una muestra de 324 quesos y observa que el tiempo medio hasta que se estropean es de 27 días. Se supone además que el tiempo hasta que se estropea el producto sigue una distribución normal con desviación típica 4 días.*
a) [1,5 puntos] Construye un intervalo de confianza para el tiempo medio que tarda en estropearse este tipo de queso al 99 % de confianza.
b) [1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero tiempo medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0,5 días y un nivel de confianza del 99 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{estropearse}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{queso}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{99\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El tiempo sigue una normal de desviación típica conocida $\sigma =4$ días, con $\bar{x}=27$ y $n=324$. El intervalo para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 99 % de confianza se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,995}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$. Como $\sqrt{324}=18$, el error de estimación es

$E=\mathrm{2,58}\cdot \frac{4}{18}=\frac{\mathrm{10,32}}{18}\approx \mathrm{0,5733}$

y el intervalo queda

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(\mu )=(27-\mathrm{0,5733},27+\mathrm{0,5733})=\mathbf{\text{(26,4267;}}\mathbf{\text{27,5733)}}$

Con una confianza del 99 %, el queso sin envasar tarda entre 26,43 y 27,57 días en estropearse.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{verdadero}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,5}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se impone la cota al error:

$\mathrm{2,58}\cdot \frac{4}{\sqrt{n}}\le \mathrm{0,5}⟹\sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{2,58}\cdot 4}{\mathrm{0,5}}=\frac{\mathrm{10,32}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{20,64}$

$n\ge {\mathrm{20,64}}^2=\mathrm{426,01}$

Como el tamaño muestral es entero y la desigualdad ha de cumplirse, se redondea hacia arriba:

$n=\mathbf{\text{427}}\text{ quesos}$

Con los 324 de la muestra el error era 0,5733, algo mayor que el medio día exigido; por eso hace falta ampliar la muestra hasta 427.