Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

5.Una empresa láctea se encarga de procesar leche y envasarla en botellas. De estas, el 70 % son de leche entera, el 20 % de leche semidesnatada y el resto de leche desnatada. Además se sabe que el 5 % de las botellas de leche entera se exportan fuera del país, así como el 3 % de las de leche semidesnatada y el 10 % de las de leche desnatada.
a) [1,25 puntos] Si se elige una botella al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea exportada?
b) [1,25 puntos] Si se elige una botella al azar de entre las exportadas, ¿Cuál es la probabilidad de que contenga leche semidesnatada?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{botella}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{exportada?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $E$, $S$ y $D$ los sucesos «entera», «semidesnatada» y «desnatada», y $X$ el suceso «se exporta». El «resto» del enunciado es $100-70-20=10\mathrm{\%}$ de leche desnatada:

$P(E)=\mathrm{0,70}P(S)=\mathrm{0,20}P(D)=\mathrm{0,10}$

$P(X\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,05}P(X\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,03}P(X\mathrm{\mid }D)=\mathrm{0,10}$



Los tres tipos de leche forman un sistema completo de sucesos, así que por el teorema de la probabilidad total:

$P(X)=\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,10}$

$P(X)=\mathrm{0,035}+\mathrm{0,006}+\mathrm{0,010}=\mathrm{0,051}$

y la probabilidad pedida es la del suceso contrario:

$P(\bar{X})=1-\mathrm{0,051}=\mathrm{0,949}$

No se exporta el $\mathbf{\text{94,9}}\mathbf{\text{\%}}$ de las botellas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{botella}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{exportadas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contenga}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{semidesnatada?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema de Bayes, dividiendo la rama de la semidesnatada entre el total de exportadas:

$P(S\mathrm{\mid }X)=\frac{P(S)P(X\mathrm{\mid }S)}{P(X)}=\frac{\mathrm{0,006}}{\mathrm{0,051}}=\frac{6}{51}=\frac{2}{17}$

$P(S\mathrm{\mid }X)\approx \mathrm{0,1176}$

Un $\mathbf{\text{11,76}}\mathbf{\text{\%}}$ de las botellas exportadas es de leche semidesnatada, bastante menos que el 20 % que representa en la producción: es la que menos se exporta de las tres.