Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

7. Se quiere hacer un estudio para estimar la proporción de personas que han viajado a América.*\n a) [1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para que pueda estimarse la verdadera proporción de personas que han viajado a América a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0,05 y un nivel de confianza del 90 %?\n b) [1,5 puntos] En una muestra aleatoria de 2000 personas, se sabe que 600 han viajado a América. En función de esta muestra obtén, con un nivel de confianza del 90 %, un intervalo para estimar la proporción poblacional de personas que han viajado a América.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{estimarse}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{verdadera}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{viajado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Am}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,05}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación de una proporción es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Como todavía no hay muestra, se toma el caso más desfavorable, $p=\mathrm{0,5}$, que hace máximo el producto $p(1-p)=\mathrm{0,25}$. Para el 90 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,64}$.

$\mathrm{1,64}\sqrt{\frac{\mathrm{0,25}}{n}}\le \mathrm{0,05}⟹\sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{1,64}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,05}}=\mathrm{16,4}$

$n\ge {\mathrm{16,4}}^2=\mathrm{268,96}$

Redondeando hacia arriba, hacen falta $\mathbf{\text{269}}\mathbf{\text{personas}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{personas,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{600}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{viajado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Am}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90\%,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{viajado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Am}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{600}{2000}=\mathrm{0,30}1-\widehat{p}=\mathrm{0,70}$

El error estándar vale

$\sqrt{\frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,70}}{2000}}=\sqrt{\mathrm{0,000105}}\approx \mathrm{0,010247}$

y el error de estimación,

$E=\mathrm{1,64}\cdot \mathrm{0,010247}\approx \mathrm{0,0168}$

de modo que el intervalo es

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,30}-\mathrm{0,0168},\mathrm{0,30}+\mathrm{0,0168})=\mathbf{\text{(0,2832;}}\mathbf{\text{0,3168)}}$

Con una confianza del 90 %, entre el 28,32 % y el 31,68 % de la población ha viajado a América. La muestra de 2000 es muy superior al mínimo de 269, y por eso el error obtenido es tres veces menor que el 0,05 exigido allí.