Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 8. Una local que vende comida a domicilio trata de estimar el tiempo medio que sus repartidores tardan en entregar el pedido desde que lo recogen en el local. En una muestra de 200 pedidos se obtuvo un tiempo medio de 17.5 minutos. Se supone que el tiempo de reparto de un pedido, en minutos, se puede aproximar por una distribución normal con desviación típica 4 minutos.\n a) [1.5 puntos] Construye un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99 %, para el tiempo medio de entrega de esos repartidores.\n b) [1 punto] ¿Cuál es el error de estimación en el intervalo anterior? Si, basándonos en la misma muestra, quisiésemos obtener un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 99.5 %, ¿el error sería mayor o menor que el obtenido en el apartado anterior?\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99\%,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entrega}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{repartidores.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El tiempo sigue una normal de desviación típica conocida $\sigma =4$ minutos, con $\bar{x}=\mathrm{17,5}$ y $n=200$. El intervalo para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 99 % de confianza se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,995}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$. El error de estimación vale

$E=\mathrm{2,58}\cdot \frac{4}{\sqrt{200}}=\frac{\mathrm{10,32}}{\mathrm{14,1421}}\approx \mathrm{0,7297}$

y el intervalo queda

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(\mu )=(\mathrm{17,5}-\mathrm{0,7297},\mathrm{17,5}+\mathrm{0,7297})=\mathbf{\text{(16,7703;}}\mathbf{\text{18,2297)}}$

Con una confianza del 99 %, los repartidores tardan de media entre 16,77 y 18,23 minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{Si,}}\mathbf{\text{bas}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndonos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{quisi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{semos}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99,5\%,}}\mathbf{\text{¿el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación es el que se acaba de calcular:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx \mathbf{\text{0,7297}}\text{ minutos}$

También puede leerse del intervalo: $E={\displaystyle \frac{\mathrm{18,2297}-\mathrm{16,7703}}{2}}=\mathrm{0,7297}$.

Si se sube la confianza al 99,5 % sin cambiar la muestra, ni $\sigma$ ni $n$ varían: lo único que cambia es $z_{\alpha \mathrm{/}2}$. A mayor nivel de confianza hace falta abarcar más área bajo la campana, luego el valor crítico es mayor —para el 99,5 % ronda 2,81 frente a los 2,58 del 99 %— y, por tanto, el error de estimación es $\mathbf{\text{mayor}}$.

Es el compromiso habitual de la inferencia: se puede ganar confianza, pero se paga con un intervalo más ancho, es decir, con una estimación menos precisa.