Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

8. La duración de un tipo de pila, en horas, sigue una distribución normal con desviación típica de 80 horas.*\n a) [1,5 puntos] Construye un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99 %, para la duración media de ese tipo de pila, a partir de una muestra de 100 pilas, en la que se ha obtenido que la suma de las duraciones de todas ellas ha sido de 55000 horas.\n b) [1 punto] Si el tamaño muestral siguiese siendo de 100 pilas, pero la media aumentara, ¿Qué le ocurriría a los extremos del intervalo anterior? ¿aumentarían o disminuirían? Y si la media siguiese siendo la misma, pero el tamaño muestral hubiese aumentado, ¿Qué le ocurriría a la amplitud del intervalo anterior? ¿aumentaría o disminuiría?\n* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:
F(1,28) = 0,90; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2,33) = 0,99 y F(2,58) = 0,995.\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99\%,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pila,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{pilas,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{duraciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{55}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{horas.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La media muestral se obtiene de la suma:

$\bar{x}=\frac{55000}{100}=550\text{ horas}$

Con $\sigma =80$ conocida y población normal, el intervalo para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 99 % de confianza se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,995}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$. El error de estimación vale

$E=\mathrm{2,58}\cdot \frac{80}{\sqrt{100}}=\mathrm{2,58}\cdot 8=\mathrm{20,64}$

y el intervalo queda

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(\mu )=(550-\mathrm{20,64},550+\mathrm{20,64})=\mathbf{\text{(529,36;}}\mathbf{\text{570,64)}}$

Con una confianza del 99 %, la duración media de este tipo de pila está entre 529,36 y 570,64 horas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{siguiese}}\mathbf{\text{siendo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{pilas,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{aumentara,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{siguiese}}\mathbf{\text{siendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{hubiese}}\mathbf{\text{aumentado,}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Conviene mirar la estructura del intervalo: su centro es $\bar{x}$ y su semiamplitud es $E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$, que no depende de la media.

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}$ y $n$ no cambia, el error sigue valiendo 20,64 y el intervalo simplemente se desplaza hacia la derecha: los dos extremos $\mathbf{\text{aumentan}}$, y la amplitud no varía.

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}$ con la misma media, el numerador $z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma$ no cambia y el denominador $\sqrt{n}$ crece, de modo que $E$ se hace menor: la amplitud $2E$ $\mathbf{\text{disminuye}}$ y el intervalo se estrecha alrededor del mismo centro.

Por ejemplo, con $n=400$ el error sería $\mathrm{2,58}\cdot {\displaystyle \frac{80}{20}}=\mathrm{10,32}$, justo la mitad: para dividir la amplitud entre dos hay que multiplicar la muestra por cuatro.