Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 6. En una determinada población, el 5 % de los individuos han contraído un virus. Para estudiar dicha enfermedad se somete a los individuos a un cribado consistente en una prueba que determina que tiene virus el 90 % de las veces si el individuo está infectado y determina que no tiene virus el 95 % de las veces si no está infectado. Se pide:
a) [1.25 puntos] Si la prueba determina que un individuo tiene el virus, ¿Cuál es la probabilidad de que realmente no lo tenga?
b) [1.25 puntos] Si la prueba determina que un individuo no tiene el virus, ¿Cuál es la probabilidad de que realmente lo tenga?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{individuo}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{virus,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realmente}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{tenga?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $V$ = «tiene el virus» y $+$ = «la prueba dice que lo tiene». Del enunciado:

$P(V)=\mathrm{0,05}P(\bar{V})=\mathrm{0,95}P(+\mathrm{\mid }V)=\mathrm{0,90}P(-\mathrm{\mid }\bar{V})=\mathrm{0,95}$

y, por tanto, $P(+\mathrm{\mid }\bar{V})=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}$ (los falsos positivos) y $P(-\mathrm{\mid }V)=\mathrm{0,10}$ (los falsos negativos).



Primero, la probabilidad de dar positivo, por el teorema de la probabilidad total:

$P(+)=\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,90}+\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,05}=\mathrm{0,045}+\mathrm{0,0475}=\mathrm{0,0925}$

y ahora el teorema de Bayes con la rama de los sanos:

$P(\bar{V}\mathrm{\mid }+)=\frac{\mathrm{0,0475}}{\mathrm{0,0925}}=\frac{19}{37}\approx \mathrm{0,5135}$

Más de la mitad de los positivos, un $\mathbf{\text{51,35}}\mathbf{\text{\%}}$, son falsas alarmas. El resultado sorprende, pero es lo normal cuando se busca algo poco frecuente: los sanos son 19 veces más numerosos, y ese 5 % de falsos positivos suyo pesa tanto como el 90 % de aciertos sobre los pocos enfermos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{individuo}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{virus,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realmente}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{tenga?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La probabilidad de dar negativo es la complementaria de la anterior:

$P(-)=1-\mathrm{0,0925}=\mathrm{0,9075}$

o bien, sumando ramas: $\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,10}+\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,95}=\mathrm{0,005}+\mathrm{0,9025}=\mathrm{0,9075}$.

Aplicando Bayes con la rama de los falsos negativos:

$P(V\mathrm{\mid }-)=\frac{\mathrm{0,005}}{\mathrm{0,9075}}=\frac{2}{363}\approx \mathrm{0,0055}$

Solo un $\mathbf{\text{0,55}}\mathbf{\text{\%}}$ de los negativos son enfermos sin detectar. Es decir, el cribado es muy fiable cuando dice que no hay virus y muy poco fiable cuando dice que sí: los positivos hay que confirmarlos con una segunda prueba.