Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 5. El 60 % de las viviendas anunciadas en una inmobiliaria se alquilan, el resto se venden. Por otra parte, el 30 % de las viviendas que se alquilan y el 60 % de las que se venden son chalés. El resto son pisos.
a) [1.25 puntos] Si se elige un piso al azar en esa inmobiliaria, ¿Cuál es la probabilidad de que se alquile?
b) [1.25 puntos] Si se elige una vivienda al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esté en venta o sea un chalé?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{piso}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{inmobiliaria,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alquile?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $A$ = «se alquila», $V$ = «se vende» y $Ch$ = «es un chalé». Como el resto son pisos, $P(Pi\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,70}$ y $P(Pi\mathrm{\mid }V)=\mathrm{0,40}$:

$P(A)=\mathrm{0,60}P(V)=\mathrm{0,40}P(Ch\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,30}P(Ch\mathrm{\mid }V)=\mathrm{0,60}$



Primero la probabilidad de que una vivienda sea un piso, por el teorema de la probabilidad total:

$P(Pi)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,70}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,40}=\mathrm{0,42}+\mathrm{0,16}=\mathrm{0,58}$

y ahora el teorema de Bayes:

$P(A\mathrm{\mid }Pi)=\frac{\mathrm{0,42}}{\mathrm{0,58}}=\frac{21}{29}\approx \mathrm{0,7241}$

Un $\mathbf{\text{72,41}}\mathbf{\text{\%}}$ de los pisos están en alquiler, bastante más que el 60 % que representa el alquiler en el conjunto: los pisos son sobre todo cosa del alquiler y los chalés, de la venta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vivienda}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{chal}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La probabilidad de ser chalé es la complementaria de la de ser piso:

$P(Ch)=1-\mathrm{0,58}=\mathrm{0,42}$

y la intersección es la rama de los chalés en venta:

$P(V\cap Ch)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,24}$

Aplicando la fórmula de la unión:

$P(V\cup Ch)=P(V)+P(Ch)-P(V\cap Ch)=\mathrm{0,40}+\mathrm{0,42}-\mathrm{0,24}=\mathrm{0,58}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,58}}$. Se puede comprobar por el contrario: lo único que queda fuera es «piso en alquiler», cuya probabilidad es $\mathrm{0,42}$, y $1-\mathrm{0,42}=\mathrm{0,58}$.