Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 8. Una empresa de telecomunicaciones hace una encuesta antes de instalar fibra en una región. Para ello selecciona al azar a 180 hogares de la zona, y tras mostrarles su oferta, anota si el hogar contrataría la fibra con esa empresa o no. El resultado del sondeo es que 130 de los hogares encuestados contratarían su fibra.
a) [1.5 puntos] Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la proporción poblacional de hogares que contratarían su fibra, con un nivel de confianza del 95 %.
b) [1 punto] En el intervalo anterior, ¿Cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, basándonos en la misma muestra, aumentásemos el nivel de confianza?
* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:
$F(1.28)=0.90,F(1.64)=0.95,F(1.96)=0.975,F(2.33)=0.99yF(2.58)=\mathrm{0.995.}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hogares}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contratar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{fibra,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{130}{180}=\frac{13}{18}\approx \mathrm{0,7222}1-\widehat{p}\approx \mathrm{0,2778}$

Para el 95 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$. El error estándar vale

$\sqrt{\frac{\mathrm{0,7222}\cdot \mathrm{0,2778}}{180}}=\sqrt{\mathrm{0,0011145}}\approx \mathrm{0,033385}$

y el error de estimación,

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,033385}\approx \mathrm{0,0654}$

de modo que el intervalo es

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,7222}-\mathrm{0,0654},\mathrm{0,7222}+\mathrm{0,0654})=\mathbf{\text{(0,6568;}}\mathbf{\text{0,7877)}}$

Con una confianza del 95 %, entre el 65,68 % y el 78,77 % de los hogares de la zona contratarían la fibra con esa empresa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{si,}}\mathbf{\text{bas}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndonos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{aument}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{semos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación es la semiamplitud del intervalo, ya calculada:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\approx \mathbf{\text{0,0654}}$

También puede leerse del propio intervalo: $E={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7877}-\mathrm{0,6568}}{2}}=\mathrm{0,0654}$.

Si se mantiene la muestra y se sube el nivel de confianza, ni $\widehat{p}$ ni $n$ cambian: lo único que varía es $z_{\alpha \mathrm{/}2}$. A mayor confianza hay que abarcar más área bajo la campana, de modo que el valor crítico crece y el error de estimación $\mathbf{\text{aumenta}}$.

Por ejemplo, subiendo al 99 % el valor crítico pasa de 1,96 a 2,58 y el error sería

$E=\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,033385}\approx \mathrm{0,0861}$

sensiblemente mayor. Es el compromiso de siempre: más confianza a cambio de menos precisión.