Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 6. Los estudiantes extranjeros que durante el curso viven en residencia universitaria suponen el 10 % de todos los estudiantes de una universidad. El 80 % de todos los estudiantes no son extranjeros y de ellos, el 75% no viven en residencia universitaria durante el curso.
a) [1.25 puntos] Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar ni sea extranjero, ni viva en residencia universitaria durante el curso.
b) [1.25 puntos] Elegido al azar un estudiante entre los extranjeros, ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en residencia universitaria durante el curso?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{extranjero,}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{viva}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{residencia}}\mathbf{\text{universitaria}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{curso.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $E$ = «es extranjero» y $R$ = «vive en residencia». El enunciado da un dato de intersección y dos marginales:

$P(E\cap R)=\mathrm{0,10}P(\bar{E})=\mathrm{0,80}P(\bar{R}\mathrm{\mid }\bar{E})=\mathrm{0,75}$

de donde $P(E)=1-\mathrm{0,80}=\mathrm{0,20}$.

La probabilidad pedida sale directamente de la regla del producto:

$P(\bar{E}\cap \bar{R})=P(\bar{E})\cdot P(\bar{R}\mathrm{\mid }\bar{E})=\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,60}$

Un $\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{\%}}$ de los estudiantes ni es extranjero ni vive en residencia.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extranjeros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{viva}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{residencia}}\mathbf{\text{universitaria}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{curso?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los extranjeros son el 20 % del total y, de ellos, el 10 % del total vive en residencia. Los que no viven en ella son la diferencia:

$P(E\cap \bar{R})=P(E)-P(E\cap R)=\mathrm{0,20}-\mathrm{0,10}=\mathrm{0,10}$

y ahora se condiciona:

$P(\bar{R}\mathrm{\mid }E)=\frac{P(E\cap \bar{R})}{P(E)}=\frac{\mathrm{0,10}}{\mathrm{0,20}}=\mathrm{0,50}$

Justo la mitad de los extranjeros, un $\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{\%}}$, no vive en residencia. Entre los nacionales esa proporción es del 75 %, así que vivir en residencia es bastante más frecuente entre los extranjeros: los dos sucesos no son independientes.