Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 7. Una fábrica hace un control de calidad para determinar la proporción de tabletas de chocolate que realmente contienen la cantidad de leche que indica en el envoltorio.
a) [1 punto] ¿Cuál debería ser el tamaño muestral mínimo para determinar la verdadera proporción de tabletas con el contenido en leche indicado a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0.05 y un nivel de confianza del 95 %?
b) [1.5 puntos] Finalmente, se analizaron 300 tabletas y, de ellas, 264 tenían el contenido en leche indicado. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la verdadera proporción de tabletas con el contenido en leche indicado, con un nivel de confianza del 90 %.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{verdadera}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tabletas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{indicado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,05}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación de una proporción es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Como todavía no hay muestra, se toma el caso más desfavorable, $p=\mathrm{0,5}$, que hace máximo $p(1-p)=\mathrm{0,25}$. Para el 95 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$\mathrm{1,96}\sqrt{\frac{\mathrm{0,25}}{n}}\le \mathrm{0,05}⟹\sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,05}}=\mathrm{19,6}$

$n\ge {\mathrm{19,6}}^2=\mathrm{384,16}$

Redondeando hacia arriba, hacen falta $\mathbf{\text{385}}\mathbf{\text{tabletas}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Finalmente,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{analizaron}}\mathbf{\text{300}}\mathbf{\text{tabletas}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas,}}\mathbf{\text{264}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{indicado.}}\mathbf{\text{Construye,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{verdadera}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90\%.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{264}{300}=\mathrm{0,88}1-\widehat{p}=\mathrm{0,12}$

Para el 90 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,64}$. El error estándar vale

$\sqrt{\frac{\mathrm{0,88}\cdot \mathrm{0,12}}{300}}=\sqrt{\mathrm{0,000352}}\approx \mathrm{0,018762}$

y el error de estimación,

$E=\mathrm{1,64}\cdot \mathrm{0,018762}\approx \mathrm{0,0308}$

de modo que el intervalo es

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,88}-\mathrm{0,0308},\mathrm{0,88}+\mathrm{0,0308})=\mathbf{\text{(0,8492;}}\mathbf{\text{0,9108)}}$

Con una confianza del 90 %, entre el 84,92 % y el 91,08 % de las tabletas llevan el contenido en leche que anuncian. Obsérvese que la muestra de 300 no llega a las 385 del apartado anterior, pero el error obtenido (0,0308) es menor que 0,05: como la proporción real está lejos del 0,5 del caso peor, la muestra rinde más de lo previsto.