Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 8. El nivel de cierta hormona en sangre sigue distribución normal con desviación típica 1.2 UI/l. Para una muestra de 200 personas se obtuvo que el nivel medio de esa hormona en sangre fue de 8.7 UI/l.
a) [1.5 puntos] Determina, a partir de esa muestra, un intervalo de confianza para el nivel medio poblacional de la hormona en sangre al nivel de confianza del 90 %.
b) [0.5 puntos] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación?
c) [1.0 puntos] Uno de los dos intervalos siguientes: (8.5681, 8.8319) y (8.5514, 8.8486) se obtuvo a partir de la misma muestra al 88 % de confianza. Razona adecuadamente cuál de los dos corresponde al nivel de confianza del 88 %.
* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:
F(1.28) = 0.90; F(1.64) = 0.95; F(1.96) = 0.975; F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{hormona}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sangre}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90\%.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El nivel sigue una normal de desviación típica conocida $\sigma =\mathrm{1,2}$ UI/l, con $\bar{x}=\mathrm{8,7}$ y $n=200$. El intervalo para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 90 % de confianza se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,95}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,64}$. El error de estimación vale

$E=\mathrm{1,64}\cdot \frac{\mathrm{1,2}}{\sqrt{200}}=\frac{\mathrm{1,968}}{\mathrm{14,1421}}\approx \mathrm{0,1392}$

y el intervalo queda

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(\mu )=(\mathrm{8,7}-\mathrm{0,1392},\mathrm{8,7}+\mathrm{0,1392})=\mathbf{\text{(8,5608;}}\mathbf{\text{8,8392)}}$

Con una confianza del 90 %, el nivel medio de la hormona está entre 8,5608 y 8,8392 UI/l.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es la semiamplitud del intervalo, que ya se ha calculado:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx \mathbf{\text{0,1392}}\text{ UI/l}$

También puede leerse del propio intervalo:

$E=\frac{\mathrm{8,8392}-\mathrm{8,5608}}{2}=\frac{\mathrm{0,2784}}{2}=\mathrm{0,1392}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{siguientes:}}\mathbf{\text{(8.5681,}}\mathbf{\text{8.8319)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{(8.5514,}}\mathbf{\text{8.8486)}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{88}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{adecuadamente}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{88}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

No hace falta calcular el valor crítico del 88 %. Al bajar la confianza del 90 % al 88 % el valor $z_{\alpha \mathrm{/}2}$ disminuye y, como la muestra es la misma, el error de estimación $E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ disminuye con él: el intervalo buscado ha de ser más estrecho que el del apartado a).

Se mide la semiamplitud de cada candidato:

$E_1=\frac{\mathrm{8,8319}-\mathrm{8,5681}}{2}=\frac{\mathrm{0,2638}}{2}=\mathrm{0,1319}{E}_2=\frac{\mathrm{8,8486}-\mathrm{8,5514}}{2}=\frac{\mathrm{0,2972}}{2}=\mathrm{0,1486}$

y se comparan con el error del 90 %, que vale $\mathrm{0,1392}$. Solo el primero es menor, luego el intervalo obtenido al 88 % de confianza es $\mathbf{\text{(8,5681;}}\mathbf{\text{8,8319)}}$. El segundo, más ancho que el del 90 %, correspondería a una confianza mayor.