Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 5. Una empresa comercializa cromos de unos dibujos animados. El 60% de los cromos son de personajes del «Reino Rosa» y el resto de personajes del «Reino Gris». Por otro lado, uno de cada tres cromos del «Reino Rosa» y uno de cada cinco del «Reino Gris» tienen el borde dorado.
a) [1.25 puntos] Elegido un cromo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el borde dorado?
b)1.25 puntos]Si se elige al azar un cromo entre los que no tienen el borde dorado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea del <<Reino Rosa>>?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cromo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{borde}}\mathbf{\text{dorado?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $R$ = «es del Reino Rosa», $G$ = «es del Reino Gris» y $D$ = «tiene el borde dorado». Los datos son

$P(R)=\mathrm{0,60}P(G)=\mathrm{0,40}P(D\mathrm{\mid }R)=\frac{1}{3}P(D\mathrm{\mid }G)=\frac{1}{5}$



Los dos reinos forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total:

$P(D)=P(R)P(D\mathrm{\mid }R)+P(G)P(D\mathrm{\mid }G)=\mathrm{0,60}\cdot \frac{1}{3}+\mathrm{0,40}\cdot \frac{1}{5}$

$P(D)=\mathrm{0,20}+\mathrm{0,08}=\mathrm{0,28}$

Tiene el borde dorado el $\mathbf{\text{28}}\mathbf{\text{\%}}$ de los cromos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cromo}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{borde}}\mathbf{\text{dorado,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Reino}}\mathbf{\text{Rosa?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La probabilidad de no tener el borde dorado es la complementaria:

$P(\bar{D})=1-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,72}$

y la rama de los rosas sin borde dorado vale $\mathrm{0,60}\cdot \frac{2}{3}=\mathrm{0,40}$. Por el teorema de Bayes:

$P(R\mathrm{\mid }\bar{D})=\frac{\mathrm{0,40}}{\mathrm{0,72}}=\frac{5}{9}\approx \mathrm{0,5556}$

Un $\mathbf{\text{55,56}}\mathbf{\text{\%}}$ de los cromos sin borde dorado son del Reino Rosa, algo menos que el 60 % que representan en la colección: como los rosas son más propensos a llevar borde dorado, están algo infrarrepresentados entre los que no lo llevan.