Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 6. Cierta región se sabe que el 40 % de los habitantes tienen hijos, el 20 % de los habitantes tienen estudios superiores y el 5 % de los habitantes tienen tanto hijos, como estudios superiores.
a) [1.25 puntos] Elegido un habitante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni hijos, ni estudios superiores?
b) [1.25 puntos] Elegido al azar un habitante de entre los que tienen estudios superiores, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga hijos?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{habitante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{hijos,}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{estudios}}\mathbf{\text{superiores?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $H$ = «tiene hijos» y $E$ = «tiene estudios superiores». Los datos son

$P(H)=\mathrm{0,40}P(E)=\mathrm{0,20}P(H\cap E)=\mathrm{0,05}$

Lo que se pide es la probabilidad del complementario de la unión, así que primero se calcula la unión:

$P(H\cup E)=P(H)+P(E)-P(H\cap E)=\mathrm{0,40}+\mathrm{0,20}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,55}$

y por las leyes de De Morgan:

$P(\bar{H}\cap \bar{E})=P(\overline{H\cup E})=1-\mathrm{0,55}=\mathrm{0,45}$

Un $\mathbf{\text{45}}\mathbf{\text{\%}}$ de los habitantes no tiene ni hijos ni estudios superiores.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{habitante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{estudios}}\mathbf{\text{superiores,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{hijos?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el espacio muestral se reduce al 20 % que tiene estudios superiores. De ese 20 %, un 5 % del total tiene además hijos, luego el resto no los tiene:

$P(\bar{H}\cap E)=P(E)-P(H\cap E)=\mathrm{0,20}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,15}$

$P(\bar{H}\mathrm{\mid }E)=\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,20}}=\mathrm{0,75}$

Tres de cada cuatro titulados superiores, un $\mathbf{\text{75}}\mathbf{\text{\%}}$, no tiene hijos. En el conjunto de la población esa proporción es del 60 %, así que los dos sucesos no son independientes: tener estudios superiores va asociado a tener menos hijos.