Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 7. El importe de las hipotecas concedidas por una entidad financiera sigue distribución normal con desviación 35 miles de euros.
a) [1.5 puntos] Para estimar el importe medio poblacional, se considera una muestra aleatoria de 150 hipotecas, para las que el importe medio fue de 138 miles de euros. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para el importe medio poblacional, con un nivel de confianza del 90 %.
b) [1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero importe medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 5000 euros y un nivel de confianza del 95 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{poblacional,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{hipotecas,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{138}}\mathbf{\text{miles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{Construye,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{poblacional,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90\%.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El importe sigue una normal de desviación típica conocida $\sigma =35$ miles de euros, con $\bar{x}=138$ y $n=150$. El intervalo para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 90 % de confianza se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,95}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,64}$. El error de estimación vale

$E=\mathrm{1,64}\cdot \frac{35}{\sqrt{150}}=\frac{\mathrm{57,4}}{\mathrm{12,2474}}\approx \mathrm{4,6867}$

y el intervalo queda

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(\mu )=(138-\mathrm{4,6867},138+\mathrm{4,6867})=\mathbf{\text{(133,3133;}}\mathbf{\text{142,6867)}}$

Con una confianza del 90 %, el importe medio de las hipotecas está entre 133 313 y 142 687 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{verdadero}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Conviene trabajar en las mismas unidades que la desviación típica: 5000 euros son 5 miles de euros. Ahora la confianza es del 95 %, luego $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$\mathrm{1,96}\cdot \frac{35}{\sqrt{n}}\le 5⟹\sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{1,96}\cdot 35}{5}=\mathrm{13,72}$

$n\ge {\mathrm{13,72}}^2=\mathrm{188,2384}$

Redondeando hacia arriba,

$n=\mathbf{\text{189}}\text{ hipotecas}$

Hace falta ampliar algo la muestra: se pide más confianza (95 % en vez de 90 %) y un error algo mayor que el obtenido antes, y de las dos exigencias pesa más la primera.