Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 7. Se supone que la duración de un aparato electrónico, en años, sigue aproximadamente una distribución normal con desviación típica 0.5 años.
a) [1.5 puntos] Para estimar la duración media, se considera una muestra aleatoria de 150 aparatos, los cuales han durado, en media, 1.8 años. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la duración media, al 95 % de confianza.
b) [1 punto] ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la verdadera duración media a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0.2 años y un nivel de confianza del 99 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{aparatos,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{durado,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{media,}}\mathbf{\text{1,8}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{Construye,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{95\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La duración sigue una normal de desviación típica conocida $\sigma =\mathrm{0,5}$ años, con $\bar{x}=\mathrm{1,8}$ y $n=150$. El intervalo para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 95 % de confianza se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,975}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$. El error de estimación vale

$E=\mathrm{1,96}\cdot \frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{150}}=\frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{12,2474}}\approx \mathrm{0,0800}$

y el intervalo queda

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(\mu )=(\mathrm{1,8}-\mathrm{0,0800},\mathrm{1,8}+\mathrm{0,0800})=\mathbf{\text{(1,7200;}}\mathbf{\text{1,8800)}}$

Con una confianza del 95 %, estos aparatos duran de media entre 1,72 y 1,88 años.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{verdadera}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,2}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora la confianza es del 99 %, de modo que $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$. Se impone la cota al error:

$\mathrm{2,58}\cdot \frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{n}}\le \mathrm{0,2}⟹\sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,2}}=\mathrm{6,45}$

$n\ge {\mathrm{6,45}}^2=\mathrm{41,6025}$

Como el tamaño muestral es entero y la desigualdad ha de cumplirse, se redondea hacia arriba:

$n=\mathbf{\text{42}}\text{ aparatos}$

Basta con una muestra mucho menor que la anterior porque también se admite un error mucho mayor: 0,2 años frente a los 0,08 del apartado a).