Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 8. Una empresa hace un estudio de mercado antes de lanzar un nuevo producto. Para ello selecciona al azar 200 personas a las que proporciona su producto durante 4 semanas para que indiquen al final de ese período si les ha gustado o no. A 150 de ellas les ha gustado y al resto no.
a) [1.5 puntos] Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la proporción poblacional de personas a las que les gustará el producto, al 99 % de confianza.
b) [1 punto] En el intervalo anterior, ¿Cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese disminuido el tamaño de la muestra?
Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:
F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{gustar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{99\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{150}{200}=\mathrm{0,75}1-\widehat{p}=\mathrm{0,25}$

Para el 99 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$. El error estándar vale

$\sqrt{\frac{\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,25}}{200}}=\sqrt{\mathrm{0,0009375}}\approx \mathrm{0,030619}$

y el error de estimación,

$E=\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,030619}\approx \mathrm{0,0790}$

de modo que el intervalo es

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,75}-\mathrm{0,0790},\mathrm{0,75}+\mathrm{0,0790})=\mathbf{\text{(0,6710;}}\mathbf{\text{0,8290)}}$

Con una confianza del 99 %, el producto gustará a entre el 67,10 % y el 82,90 % de la población.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{si,}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral,}}\mathbf{\text{hubiese}}\mathbf{\text{disminuido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación es la semiamplitud del intervalo, ya calculada:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\approx \mathbf{\text{0,0790}}$

También puede leerse del propio intervalo: $E={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8290}-\mathrm{0,6710}}{2}}=\mathrm{0,0790}$.

Si el nivel de confianza y la proporción muestral no cambian, el numerador queda fijo y el único que varía es el $\sqrt{n}$ del denominador. Al $\mathbf{\text{disminuir}}$ el tamaño muestral, $\sqrt{n}$ se hace más pequeño y el error de estimación $\mathbf{\text{aumenta}}$: el intervalo se ensancha y la estimación pierde precisión.

Por ejemplo, con la cuarta parte de la muestra, $n=50$, el error sería

$E=\mathrm{2,58}\sqrt{\frac{\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,25}}{50}}\approx \mathrm{0,1580}$

justo el doble: dividir la muestra entre cuatro duplica el error.