Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 6. El 30% de los pasajeros que volaron con una compañía aérea el mes pasado lo hicieron por trabajo. De ellos, el 80% tienen tarjeta de fidelidad. Entre los pasajeros que volaron por causas diferentes al trabajo, el 40% tienen tarjeta de fidelidad.\n a) [1.25 puntos] Elegido un pasajero del mes pasado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga tarjeta de fidelidad?\n b) [1.25 puntos] Entre los pasajeros con tarjeta de fidelidad del mes pasado se eligió uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que volase por trabajo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pasajero}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{pasado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{tarjeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fidelidad?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $T$ = «voló por trabajo» y $F$ = «tiene tarjeta de fidelidad». Los datos son

$P(T)=\mathrm{0,30}P(\bar{T})=\mathrm{0,70}P(F\mathrm{\mid }T)=\mathrm{0,80}P(F\mathrm{\mid }\bar{T})=\mathrm{0,40}$



Volar por trabajo o no hacerlo forma un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total:

$P(F)=P(T)P(F\mathrm{\mid }T)+P(\bar{T})P(F\mathrm{\mid }\bar{T})=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,80}+\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,40}$

$P(F)=\mathrm{0,24}+\mathrm{0,28}=\mathrm{0,52}$

Tiene tarjeta de fidelidad el $\mathbf{\text{52}}\mathbf{\text{\%}}$ de los pasajeros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pasajeros}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{tarjeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fidelidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{pasado}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{eligi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{volase}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{trabajo?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema de Bayes:

$P(T\mathrm{\mid }F)=\frac{P(T)P(F\mathrm{\mid }T)}{P(F)}=\frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,52}}=\frac{6}{13}$

$P(T\mathrm{\mid }F)\approx \mathrm{0,4615}$

Un $\mathbf{\text{46,15}}\mathbf{\text{\%}}$ de los pasajeros con tarjeta voló por trabajo, bastante más que el 30 % que representan en el total: como son el doble de propensos a tener tarjeta, están sobrerrepresentados entre los que la tienen.