Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 7. En una región se realiza un estudio sobre jóvenes (menores de 25 años) con carne de conducir.*\n a) [1 punto] Se quiere estimar el verdadero porcentaje de jóvenes que tienen carne de conducir con un nivel de confianza del 95 %, ¿cuál es el número mínimo de jóvenes que deberían ser entrevistados para que el error de estimación fuese menor o igual de 0.1?\n b) [1.5 puntos] Finalmente, se tomó una muestra de 140 jóvenes y se observó que 120 tenían carne de conducir. Halla, con un nivel de confianza del 99 %, un intervalo para estimar la proporción de jóvenes que tienen carne de conducir en esa región.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{verdadero}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{carn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conducir}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{entrevistados}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{fuese}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,1?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación de una proporción es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Como aún no se ha tomado la muestra, se usa el caso más desfavorable, $p=\mathrm{0,5}$, que hace máximo $p(1-p)=\mathrm{0,25}$. Para el 95 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$\mathrm{1,96}\sqrt{\frac{\mathrm{0,25}}{n}}\le \mathrm{0,1}⟹\sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,1}}=\mathrm{9,8}$

$n\ge {\mathrm{9,8}}^2=\mathrm{96,04}$

Redondeando hacia arriba, hay que entrevistar como mínimo a $\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Finalmente,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tom}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{140}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{observ}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{carn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conducir.}}\mathbf{\text{Halla,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99\%,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{carn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conducir}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{120}{140}=\frac{6}{7}\approx \mathrm{0,8571}1-\widehat{p}\approx \mathrm{0,1429}$

Para el 99 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$. El error estándar vale

$\sqrt{\frac{\mathrm{0,8571}\cdot \mathrm{0,1429}}{140}}=\sqrt{\mathrm{0,000875}}\approx \mathrm{0,029575}$

y el error de estimación,

$E=\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,029575}\approx \mathrm{0,0763}$

de modo que el intervalo es

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,8571}-\mathrm{0,0763},\mathrm{0,8571}+\mathrm{0,0763})=\mathbf{\text{(0,7808;}}\mathbf{\text{0,9334)}}$

Con una confianza del 99 %, entre el 78,08 % y el 93,34 % de los jóvenes de esa región tienen carné de conducir.