Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

7. Para estudiar el tiempo medio que tarda la compañía PhoneFun en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfono, se consideró una muestra aleatoria de 200 clientes y se obtuvo que el tiempo medio de portabilidad para ellos fue de 40 horas. Se supone que el tiempo de portabilidad se puede aproximar por una distribución normal con desviación típica 10 horas.
a) [1,5 puntos] Construye un intervalo de confianza para el tiempo medio de portabilidad en esa compañía, al 90 % de confianza.
b) [1 punto] ¿Cuál sería el número mínimo de clientes en la muestra necesario para estimar el verdadero tiempo medio de portabilidad en esa compañía mediante un intervalo de amplitud menor o igual a 2 horas y un nivel de confianza del 90 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{portabilidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El tiempo sigue una normal de desviación típica conocida $\sigma =10$ horas, con $\bar{x}=40$ y $n=200$. El intervalo para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 90 % de confianza se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,95}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,64}$. El error de estimación vale

$E=\mathrm{1,64}\cdot \frac{10}{\sqrt{200}}=\frac{\mathrm{16,4}}{\mathrm{14,1421}}\approx \mathrm{1,1597}$

y el intervalo queda

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(\mu )=(40-\mathrm{1,1597},40+\mathrm{1,1597})=\mathbf{\text{(38,8403;}}\mathbf{\text{41,1597)}}$

Con una confianza del 90 %, la portabilidad tarda de media entre 38,84 y 41,16 horas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{verdadero}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{portabilidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Aquí la condición es sobre la $\mathbf{\text{amplitud}}$, que es el doble del error de estimación. Que la amplitud no pase de 2 horas equivale a que el error no pase de 1 hora:

$2E\le 2⟹E\le 1$

$\mathrm{1,64}\cdot \frac{10}{\sqrt{n}}\le 1⟹\sqrt{n}\ge \mathrm{16,4}⟹n\ge {\mathrm{16,4}}^2=\mathrm{268,96}$

Redondeando hacia arriba,

$n=\mathbf{\text{269}}\text{ clientes}$

La muestra de 200 del apartado anterior daba una amplitud de $2\cdot \mathrm{1,1597}=\mathrm{2,32}$ horas, algo mayor que las 2 exigidas; por eso hace falta ampliarla.