Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

8. En una determinada ciudad se ha seleccionado una muestra aleatoria de 300 hogares, de los que 240 reciclan sus envases de plástico habitualmente.*
a) [1,5 puntos] Halla, con un nivel de confianza del 95 %, un intervalo para estimar la proporción de hogares que reciclan el plástico habitualmente en esa ciudad.
b) [1 punto] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría a la amplitud del intervalo si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese aumentado el tamaño muestral?
* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:
F(1,28) = 0,90; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2,33) = 0,99 y F(2,58) = 0,995.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halla,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hogares}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{reciclan}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stico}}\mathbf{\text{habitualmente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{ciudad.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{240}{300}=\mathrm{0,80}1-\widehat{p}=\mathrm{0,20}$

Para el 95 % de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$. El error estándar vale

$\sqrt{\frac{\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{0,20}}{300}}=\sqrt{\mathrm{0,000533}}\approx \mathrm{0,023094}$

y el error de estimación,

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,023094}\approx \mathrm{0,0453}$

de modo que el intervalo es

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,80}-\mathrm{0,0453},\mathrm{0,80}+\mathrm{0,0453})=\mathbf{\text{(0,7547;}}\mathbf{\text{0,8453)}}$

Con una confianza del 95 %, entre el 75,47 % y el 84,53 % de los hogares de esa ciudad reciclan el plástico habitualmente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{si,}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral,}}\mathbf{\text{hubiese}}\mathbf{\text{aumentado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación es la semiamplitud del intervalo, ya calculada:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\approx \mathbf{\text{0,0453}}$

También puede leerse del propio intervalo: $E={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8453}-\mathrm{0,7547}}{2}}=\mathrm{0,0453}$.

En esa fórmula, si el nivel de confianza y la proporción muestral no cambian, el numerador queda fijo y solo crece el $\sqrt{n}$ del denominador. Al aumentar $n$ el error disminuye, y con él la amplitud $2E$: el intervalo $\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estrecha}}$.

Por ejemplo, con $n=1200$ (cuatro veces la muestra) el error sería

$E=\mathrm{1,96}\sqrt{\frac{\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{0,20}}{1200}}\approx \mathrm{0,0226}$

justo la mitad: para reducir la amplitud a la mitad hay que multiplicar la muestra por cuatro.