Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

5.El 30 % de los estudiantes de un instituto hace deporte. De los que hacen deporte, el 40 % toca un instrumento y de los que no hacen deporte, una cuarta parte toca un instrumento. Elegido un estudiante de ese instituto al azar:\n a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haga deporte, pero no toque un instrumento?\n b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haga deporte o toque un instrumento?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haga}}\mathbf{\text{deporte,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{toque}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{instrumento?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $D$ = «hace deporte» e $I$ = «toca un instrumento». Los datos son

$P(D)=\mathrm{0,30}P(\bar{D})=\mathrm{0,70}P(I\mathrm{\mid }D)=\mathrm{0,40}P(I\mathrm{\mid }\bar{D})=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$



Si el 40 % de los deportistas toca un instrumento, el 60 % restante no lo toca. La probabilidad pedida es el producto de esa rama:

$P(D\cap \bar{I})=P(D)P(\bar{I}\mathrm{\mid }D)=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,18}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,18}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haga}}\mathbf{\text{deporte}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{toque}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{instrumento?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero hace falta la probabilidad de tocar un instrumento, por el teorema de la probabilidad total:

$P(I)=P(D)P(I\mathrm{\mid }D)+P(\bar{D})P(I\mathrm{\mid }\bar{D})=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,40}+\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,25}$

$P(I)=\mathrm{0,12}+\mathrm{0,175}=\mathrm{0,295}$

Ahora se aplica la fórmula de la unión, con $P(D\cap I)=\mathrm{0,12}$:

$P(D\cup I)=P(D)+P(I)-P(D\cap I)=\mathrm{0,30}+\mathrm{0,295}-\mathrm{0,12}$

$P(D\cup I)=\mathrm{0,475}$

Casi la mitad del instituto, un $\mathbf{\text{47,5}}\mathbf{\text{\%}}$, hace deporte o toca un instrumento (o las dos cosas).