Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

6. . Los estudiantes de un instituto pueden optar por cursar inglés o francés. En un determinado curso hay 500 estudiantes, de los que 460 estudian inglés y el resto francés. La mitad de los estudiantes que estudian inglés son mujeres. De los que estudian francés, el 75 % son mujeres.\na) [1,25 puntos] Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?\nb) [1,25 puntos] Elegida una estudiante al azar entre las mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que estudie francés?.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mujer?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De los 500 estudiantes, 460 estudian inglés y los $500-460=40$ restantes, francés. La mitad de los de inglés son mujeres, es decir, 230; y de los 40 de francés lo son el 75 %, es decir, 30. La tabla de contingencia queda así:

$$	Inglés	Francés	Total Mujeres	230	30	260 Hombres	230	10	240 Total	460	40	500

Por la regla de Laplace:

$P(M)=\frac{230+30}{500}=\frac{260}{500}=\mathrm{0,52}$

La probabilidad de que sea mujer es $\mathbf{\text{0,52}}$, un 52 %.

También puede llegarse por probabilidad total, tomando el idioma como sistema completo de sucesos:

$P(M)=P(I)P(M\mathrm{\mid }I)+P(F)P(M\mathrm{\mid }F)=\mathrm{0,92}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{0,08}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,46}+\mathrm{0,06}=\mathrm{0,52}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Elegida}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{mujeres,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{franc}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el espacio muestral se reduce a las 260 mujeres, de las que 30 estudian francés. Por el teorema de Bayes:

$P(F\mathrm{\mid }M)=\frac{P(F\cap M)}{P(M)}=\frac{30\mathrm{/}500}{260\mathrm{/}500}=\frac{30}{260}=\frac{3}{26}$

$P(F\mathrm{\mid }M)\approx \mathrm{0,1154}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,1154}}$, un 11,54 %. Es bastante mayor que el 8 % que representan los estudiantes de francés en el total, precisamente porque en francés las mujeres son mayoría (75 %) y en inglés solo la mitad.